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Bihar-board-class-9th-math | बहुपद

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Bihar-board-class-9th-math | बहुपद

Bihar Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (बहुपद)

                                                बहुपद 
                                            प्रश्नावली 2.1
1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं ?
कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :
(i) 4x² – 3x + 7          (ii) y² +√2         (iii) 3√t + t√2
(iv) y+2/y                  (v) x¹⁰+y³+t⁵⁰
हल : (i) इस समीकरण 4x²-3x +7 में x की सभी घात पूर्णांक हैं। इसलिए यह एक
चर का बहुपद है।
(ii) y²+√2 में y की घात पूर्णांक है। अत: यह एक चर y का बहुपद है।
(iii) 3√t + t√2 = 3t½+√2t,  यहाँ पर पहले पद की घात ½ है जोकि पूर्णांक नहीं
है। इसलिए यह बहुपद नहीं है।
(iv) y+ 2/y = y+2y-¹, यहाँ दूसरे पद की घात-1 है जो पूर्णांक नहीं है। अत: यह बहुपद
नहीं है।
(v) x¹⁰ +y³ +1⁵⁰ यहाँ x,y,t मानक रूप में है। अत: यह बहुपद नहीं है।
2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x² का गुणांक लिखिए :
(i) 2+x²+x          (ii) 2 – x² + x³       (iii) π/2+x²+x      (iv) √2x-1
हल : x² के गुणांक
(i) 2+x²+x में 1 है।                      (ii) 2-x²+x³ में -1 है।
(iii) π/2+x²+x में 1/2 है।            (iv) √2x-1 में 0 है।
3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।
हल : (i) 35 घात वाला द्विपद बहुपद = x³⁵ + 4x (ii)100 घात वाला एक पद =5x¹⁰⁰
4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए :
(i) 5x³+4x² +7x      (ii) 4-y²    (iii) 5t – √7     (iv) 3
हल : (i) अधिकतम घात का पद 5x³ है। अत: 3 घात है।
(ii) अधिकतम घात का पद -y² है और घात 2 है। अतः 2 घात है।
(iii) अधिकतम घात का पद 5t है और घात 1 है। अतः 1 घात है।
(iv) इसका केवल एक पद 3 है जिसको 3x लिख सकते हैं और घात 0 है। अत: 0 घात है।
5. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती
हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं:
(i) x²+x          (ii) x-x³       (iii) y+y² +4
(iv) 1+x         (v) 3t           (vi) r²          (vii)7x³
हल : (i) x²+x की अधिकतम घात 2 है अतः द्विघातीय बहुपद है।
(ii) x-x³ की अधिकतम घात 3 है। अतः त्रिघातीय बहुपद है।
(iii) y+y²+4 की अधिकतम घात 2 है। अतः यह द्विघातीय बहुपद है।
(iv) 1+x की अधिकतम घात है। अतः रैखिक बहुपद है।
(v) 3t की अधिकतम घात 1 है। अतः रैखिक बहुपद है।
(vi) r² की अधिकतम घात 2 है अतः द्विघातीय बहुपद है।
(vi) 7x³ की अधिकतम घात 3 है अतः त्रिघातीय बहुपद है।
                               प्रश्नावली 2.2
1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x-4x + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x=0                (ii) x = -1                (iii)x=2
हल : दिया है:
                      P(x) = 5x-4x² +3
(i) x=0 पर:     P(0) = 5(0)-4(0)² +3=0-0+3 = 3.
(ii)x= -1 पर :  P(-1) = 5(-1)-4(-1)² + 3 =-5-4+3 =-6.
(iii) x= 2 पर:  P(2) = 5(2)-4(2)² +3 = 10-16+3
                               = 13 – 16 = -3.
2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए :
(i) p(y) =y²-y+1           (ii) p(t) = 2+t+ 2t² –t³
(iii) p(x) = x³               (iv) p(x) = (x-1) (x+1)
हल : (i) दिया है : P(y) = y²-y+1
                         P(0) = (0)² -0+1=0-0+1 = 1,
                         P(1) = (1)² -1+1=1-1+1 = 1
 और                  P(2) = (2)² -2+ 1 =4 -2+1=3
(ii) दिया है :
                         p(t) = 2+t+2t²-t³
.:                       P(0) = 2+0+2(0)² – (0)³ = 2+0+0-0= 2,
                         p(1) = 2 +1 +2(1)² – (1)³ = 2 +1 +2 – 3 = 5 – 3 = 2,
और                   p(2) = 2+2+ 2(2)²-(2)³ = 2+2+8-8= 4
(iii) दिया है :
                         p(x) = x³
.:                       P(0) = (0)³ = 0,
                         P(1) = (1)³ = 1,
और                   P(2) = (2)³ = 8
(iv) दिया है :
                         p(x) = (x-1) (x+1)
.:                       p(0) = (0-1) (0+ 1)= (-1) (1) = -1,
                         P(1) = (1-1) (1+ 1) = (0) (2) = 0
 और                  P(2) = (2-1) (2+ 1) = (1) (3) = 3
3.   सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के
      शून्यक हैं :
          (i) p(x) = 3x +1; x=-1/3                   (ii) p(x) = 5x-π; x = 4/5
         (iii) p(x) = x²-1; x= 1,-1                    (iv) p(x) = (x + 1) (x-2);x=-1,2
         (v) p(x) = x²; x=0                              (vi) p(x) = lx + m; x=- m/l
        (vii) p(x) = 3x² -1; x=- 1/√3,2/√3     (viii) p(x) = 2x +1; x = 1/2
हल : (i) दिया है
                            P(x) = 3x +1
      x = -1/3 पर,   p(-2/3) = 3(-1/3)+1 = -1+1 = 0
.:            -1/3 पर, P(x) का शून्यांक है।
(ii) दिया है
                              p(x) = 5x-4
      x = 4/5 पर,      p(4/5) = 5(4/5) – 4= 4-4 = 0
.:     4/5 P(x) का शून्यांक है।
(iii) दिया है
                               p(x) = x²-1
         x=1 पर,          P(1) = (1)² -1=1-1=0
.:     1, p(x) का शून्यांक है।
और x=-1 पर p(-1)=(-1)² -1 = 1-1=0
.:.    -1, p(x) का शून्यांक है।
(iv) दिया है
                                p(x) = (x + 1)(x-2)
            x=-1 पर,       p(-1)= (-1+1)(-1-2) = (0)(-3) = 0
.:      -1, p(x) का शून्यांक है।
 और x = 2 पर,           p(2) = (2 + 1)(2-2) = (3)(0) = 0
.:       2, p(x) का शून्यांक है।
(v) दिया है
                                  P(x) = x²
x=0 पर,                      p(0) = (0)² =0
.:          0, p(x) का शून्यांक है।
(vi) दिया है
                                 P(x) = lx + m
x=-m/l पर,               P(-m/l) = l(-m/l) + m = -m+m=0
.: -m/l पर, p(x) का शून्यांक है।
(vii) दिया है 
                                 p(x) =3x² – 1
x= -1/√3 पर,            p(-1/√3) = 3(1/√3) -1 = 3×1/3 -1 = 1-1 =0
x = 2/√3 पर,            p(2/√3) = 3(2/√3)² -1 = 3×4/3 -1 = 4 -1 = 3
(viii) दिया है
                         p(x) = 2x +1
x = 1/2 पर,      p(1/2) = 2(1/2) +1 = 1+1 = 2.
4. निम्नलिखत स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) =x+5.                   (ii) P(x) =x-5
(iii) p(x) = 2x +5             (iv) p(x) = 3x-2
(v) p(x) = 3x                  (vi) p(x) = ax; a≠0
(vii) p(x) = cx +d; c≠0,c,d वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल : (i) हमें हल करना है.    p(x) = 0
            या,                       x+5= 0       या,     x =-5
.:       -5 बहुपद x+5 का शून्यांक है।
(ii) हमें ज्ञात है       p(x) = 0     या,   x-5 = 0   या, x = 5
.:           5 बहुपद x-5 का शून्यांक है।
(iii) हमें ज्ञात है          p(x) = 0       या,    2x+5=0   या, x = -5/2
.:          – 5/2 बहुपद 2x + 5 का शून्यांक है।
(iv) हमें ज्ञात है            p(x) = 0       या,   3x-2=0 = x=3   या,   x = 2/3
.:          x = 2/3 बहुपद 3x -2 का शून्यांक है।
(v) हमें ज्ञात है              p(x) = 0
              या,            3x=0       या,  x = 0
.:      0 बहुपद 3x का शून्यांक है।
(vi) हमें ज्ञात है           p(x) = ax, a≠0
                या,                ax=0        या,    x = 0
.:           0 बहुपद ax का शून्यांक है।
(vii) हमें ज्ञात है             p(x) = 0, c≠0  या,   cx +d=0      या,  x= -d/c
.:         – d/c बहुपद cx+d का शून्यांक है।
                                          प्रश्नावली 2.3
1.    x²+3x² +3x + 1 का निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) x+1       (ii) x-1/2      (iii)  x   (iv)  x+π  (v)  5+2x
हल : (i) शेषफल प्रमेय से वांछित शेषफल P(-1) के बराबर है।
अब,.                     p(x) =x²+3x²+3x +1
.:             P(-1) = (-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) +1 = -1+3-3+1=0
अतः, वांछित शेषफल = p(-1)=0
(ii) शेषफल प्रमेय द्वारा वाँछित शेषफल p(1/2) के बराबर है।
अब     p(1/2) = x³+ 3x² +3x+1 = (1/2)³ + 3(1/2)² + 3(1/2) +1
          = 1/8+3/4+3/2+1 = 1+6+12+8/8 = 27/8
(iii) शेषफल प्रमेय द्वारा वांछित शेषफल p(1) के बराबर है।
अब              p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
  .:               p(0) = 0+0+0+ 1 = 1
अतः वांछित शेषफल = p(0) = 1
(iv) शेषफल प्रमेय द्वारा वांछित शेषफल P(-π) के बराबर है।
 अब  p(x)  = x³+3x²+3x+1
  .:    p(-π) = (-π)³+3(-π)³+3(-π)+1 = -π³+3π²-3π+1
(v) शेषफल प्रमेय द्वारा वांछित शेषफल p( – 5/2) के बराबर है।
अब p(x) =x³+ 3x² + 3x+1
.:    P(-5/2) = (-5/2)³+3(-5/2) + 3(-5/2) + 1 = – 125/8+75/4 – 15/2+1
       = – 125+150-60+8/8  = – 27/8
2.  x³-ax² +6x-a को x-aसे भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:  माना p(x) = x³-ax² +6x-a
शेषफल प्रमेय द्वारा जब p(x), x- a द्वारा विभाजित होता है, तब शेषफल = p(a)
.:                 p(x) = a³-a.a²+6a-a = a³-a³ +6a-a= 5a.
3.  जाँच कीजिए कि 7+ 3x, 3x³ +7x का एक गुणनखंड है या नहीं।
हल: यदि  p(-7/3) = 0 तो p(x) = 3x³ + 7x का एक गुणनखंड 3x है।
अब,        p(-7/3) = 3(-7/3)³+7(-7/3) = 3 × (-343/27) – (49/3)
                                                           = -343/9 – 49/3 ≠ 0
.:         3x³ +7x का गुणनखंड 7+3x है।
                                           प्रश्नावली 2.4
1.  बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x+1 है।
(i) x³+x²+x+1                  (ii) x⁴+x³+x²+x+1
(iii) x⁴+3x³ + 3x²+x+1    (iv) x³-x² – (2 + √2)x + √2
हल : (i) (x + 1), p(x) = x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखंड है।
सिद्ध करने के लिए हमें p(-1) = 0 सिद्ध करना होगा।
अब,   P(-1)=(-1)³ + (-1)² + (-1)+ 1 =-1+1-1+ 1 = 0
अतः, (x + 1), p(x) = x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखंड है।
(ii) (x + 1), p(x) = x⁴ + x³ + x² + x +1 का एक गुणनखंड है, सिद्ध करने के लिए
हमें p(-1) = 0 सिद्ध करना होगा।
अब,   p(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1)+1
                   =1-1+1-1+1=1≠0
.:      (x + 1), x⁴ + x³ + x² + x + 1 का गुणनखंड नहीं है।
(iii) (x+1), P(x) = x⁴+3x³+ 3x²+x+1 का एक गुणनखंड है, सिद्ध करने के लिए
हमें p(-1) = 0 सिद्ध करना होगा।
अब,  p(-1) = (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3(-1)² + (-1) + 1 =1-3+3-1+1=1≠ 0
.: (x + 1), x⁴ + 3x³ + 3x²+ x + 1 का गुणनखंड नहीं है।
(iv) (x + 1), p(x) = x³-x²- (2 + √2)x + √2 का एक गुणनखंड है, सिद्ध करने के
लिए हमें p(-1) = 0 सिद्ध करना होगा।
            p(-1) = (-1)³ – (-1)² – (2 + √2)(-1) + √2
                     =-1-1 + 2 + √2 + √2 = 2√2 ≠ 0
.:      (x + 1), x³ – x² – (2 + √2)x + √2 का गुणनखंड नहीं है।
2. गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति
में g(x), P(x) का एक गुणनखंड है या नहीं:
(i) p(x) = 2x³+x² – 2x-1,g(x) = x+1
(ii) p(x)=x³ +3x² +3x+1,g(x) = x+2
(iii) p(x) = x³ +4x² +x+6, g(x) = x-3
हल : (i) यह सिद्ध करने के लिए कि g(x) = x + 1, p(x) = 2x³ + x² -2x-1 का एक
गुणनखंड है, यह सिद्ध करना काफी है,
                            P(-1)=0
अब,                     P(-1) = 2(-1)³ + (-1)² -2(-1)-1 = -2+1 +2 -1 = 0
.:    g(x), p(x) का गुणनखंड है।
(ii) यह सिद्ध करने के लिए कि g(x) = x +2, p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 का गुणनखंड
है, यह सिद्ध करना काफी है कि
                          p(-2)=0
अब,                   P(-2)=(-2)³ + 3(-2)² + 3(-2)+1 = -8+12-6+1 = -1≠0
.:     g(x), P(x) का गुणनखंड नहीं है।
(iii) यह सिद्ध करने के लिए g(x) = x -3, p(x) = x³ – 4x² + x-6 का एक गुणनखंड
है, यह सिद्ध करना काफी है कि
                    P(+3)=0
अब,.              P(3) =(3)³ – 4(3)² + 3 + 6 = 27 – 36+ 3 + 6 = 0
.:    g(x), p(x) का गुणनखंड नही है।
3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में
(x-1), p(x) का एक गुणनखंड हो।
(i) p(x) = x² +x+k             (ii) p(x) = 2x² + kx + √2
(iii) p(x) = kx² – √2x+1    (iv) p(x) = kx² – 3x+k
हल : (i) यदि (x -1), p(x) = x² + x + k का एक गुणनखंड है तो p(1) = 0
          या,  (1)² +1+k =0       या, 1+1+k=0
                          या, k = -2
(ii) यदि (x – 1), p(x) = 2x² + kx + √2 का एक गुणनखंड है तो
                         p(1)=0
         या,  2(1)² + k(1) + √2 = 0   या,   2+k+√2 = 0
                                या,    k = -(2+√2)
(iii) यदि (x-1), p(x) = kx² -√2x+1 का एक गुणनखंड है तो
                        P(1)=0
 या,     k(1)² – √2 (1) +1= 0       या,    k – √2 + 1 = 0
 या,                            k = – √2 -1
(iv) यदि (x -1), p(x) =kx² -3x +k का एक गुणनखंड है तो
                        p(1) = 0
या,  k(1)² -3(1) + (k) = 0    या,      k-3+k= 0
या,                          2k=3    या,       k = 3/2
4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :-
(i) 12x² -7x+1                   (ii) 2x² +7x+3
(ii) 6x²+5x-6                     (iv) 3x² – x – 4
हल : (i) यहाँ p+q= x का गुणांक = -7
                      pq=x²x स्थिर पद = 12×1 = 12
 .:                 p+q= -7= -4 -3
और                 pq= 12 = (-4)(-3)
.:   12x² -7x+1 = 12x² -4x-3x+ 1 =4x (3x-1)-1(3x-1) = (3x-1)(4x-1)
(ii) यहाँ    p+q=x का गुणांक = 7
                  pq= x² का गुणांक x स्थिर पद = 2×3 = 6
 .:              p+q=7 = 1+6
और             pq= 6 =1×6
 .:   2x² +7x+3= 2x² + x +6x+3 = x(2x + 1) + 3(2x + 1)= (2x + 1)(x+3)
(iii) यहाँ       p+q=x का गुणांक = 5
                     pq = x² का गुणांक x स्थिर पद = 6x-6 =-36
 .:.                p+q=5=9+ (-4)
और                 pq=-36=9x(-4)
.:     6x²+5x-6 = 6x² +9x-4x-6=3x(2x +3)-2(2x +3)= (2x +3)(3x-2)
(iv) यहाँ      p+q=x का गुणांक = -1
                    pq=x² का गुणांक x स्थिर पद =3x-4= -12
  .:.             p+q= -1=3+ (-4)
और               pq=-12=3x(-4)
.:   3x²-x-4=3x²+3x-4x-4 = 3x(x + 1)-4(x+1)= (x + 1)(3x-4)
5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) x³-2x²-x+2                         (ii)x³-3x²-9x-5
(iii) x³ +13x² + 32x+20         (iv) 2y³+y²-2y-1
(ii) माना p(x) =x³-3x²-9x-5
-5 के सभी गुणनखंड का ध्यान देंगे और ये हैं ±1,±5
x का मान -1 रखने पर हम पाते हैं p(-1) = -1-3+9-5=0 अत: (x + 1) का गुणनखंड
है p(x).
.:  P(x) = (x + 1)(x²-4x-5)= (x + 1)(x² +x-5x-5)
            = (x + 1)[x(x + 1)-5(x+1)]
            = (x + 1)(x + 1)(x-5)
(iii) माना p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20
+20 के सभी गुणनखंडों को ज्ञात करने का प्रयत्न करेंगे और ये हैं ±1,±2,±4,±5,±10
तथा ± 20.
 x का मान -2 रखने पर पाते हैं
            p(-2)=-8+52-64+20=0
.:      (x+2), p(x) का गुणनखंड है।
अब, p(x),x+2 द्वारा विभाजित कीजिए।
.:    p(x) = (x + 2)(x² + 11x + 10)
              = (x + 2)(x² + x + 10x + 10)
              = (x+ 2) [x(x + 1) + 10(x + 1)]
              = (x + 2)(x + 1)(x + 10)
(iv) माना P(y) = 2y³+y²-2y-1
y का मान 1 रखने पर हम पाते हैं : p(1) = 2+1-2-1 = 0
अतः (y-1), p(y) का गुणनखंड है
अब, y-1 द्वारा p(y) विभाजित करने पर
.:    p(y) = (y-1)(2y²+3y+1) = (y-1)(2y² +2y+y+1)
              = (y-1)[2y(y+ 1)+ 1(y+1)]
              =(y-1)(y+ 1)(2y+ 1).
                                प्रश्नावली 2.5
1.  उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) (x+4)(x+10)               (ii) (x+8)(x-10)
(iii) (3x+4)(3x-5)            (iv) (y²+3/2)(y²-3/2)
(v) (3-2x)(3+2x)
हल : (i) (x+4)(x + 10) = x² + (4+ 10)x +4×10 = x² +14x + 40
          (ii) (x+8)(x-10) = x² + (8-10)x +8x-10 =x²-2x-80
        (iii) (3x+4)(3x-5) = 3x(3x-5)+4(3x-5)
                                      =3x×3x-3x×5+4x3x-4×5
                                      =9x²-15x +12x-20
                                      = 9x²-3x-20
(iv)   (y²+3/2)(y² – 3/2) = (y²)² – (3/2)² = y⁴ – 9/4
(v) (3 – 2x)(3 + 2x) = (3)² – (2x)² = 9 – 4x²
2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103×107 (ii) 95×96 (ii) 104×96
हल :( i) 103 x 107 = (100+ 3)(100 + 7)
                               = (100)² + (3 + 7)(100+ 3 x 7)
                               = 100 x 100 + (10)(100) +21
                               = 10000 + 1000+21 = 11021
(ii) 95 x 96 = (100 – 5)(100 – 4)
                    = (100)² + (-5-4)(100) + (-5)(-4)
                    = 100 x 100 + (- 9) (100) + 20
                    = 10000 – 900 + 20 = 9120
(iii) 104 x 96 = (100 + 4)(100 – 4)
                       = (100)² – (4)² = 10000 -16 = 9984
3.  उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए :
(i) 9x²+6xy+y²        (ii) 4y²-4y+1          (iii) x² – y²/100
हल : (i) 9x²+ 6xy+y² = (3x)²+2(3x)(y) +(y)²
                   = (3x+y)² = (3x+y)(3x+y)
(ii) 4y²-4y+1 = (2y)²-2(2y)(1) + (1)² = (2y-1)² = (2y-1)(2y-1)
(iii) x²- y²/100 = (x)² – (y/10)² = (x – y/10)(x+ y/10)
4.  उपयुक्त सवसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
(i) (x+2y+4z)²     (ii) (2x-y+z)²         (iii) (-2x+3y+2z)²
(iv) (3a-7b-c)²     (v) (-2x+5y-3z)²    (vi) [1/4a – 1/2b +1]²
हल : (i) (x+2y+4z)² = x²+(2y)² + (4z)² +2(x)(2y)
                                                               +2(2y)(4z)+2(4z)(x)
                                 =x²+4y² +16z² +4xy+16yz+8zx
(ii) (2x-y+z)² = [2x+ (-y) +z]²
                      = (2x)² + (-y)² +z²+2(2x)(-y)+2(-y)(z) + 2(z)(2x)
                      = 4x²+y²+z²-4xy-2yz+ 4zx
(iii) (-2x+3y+2z)² = [(-2x) + 3y+2z]²
                              = (-2x)² + (3y)² + (2z)² +2(-2x)(3y)
                                                        +2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)
                              =4x²+9y²+4z²-12xy +12yz-8zx
(iv) (3a-7b-c)² = [3a + (-7b) + (-c)]²
                         = (3a)² + (-7b)² + (-c)²+2(3a)(-7b)+2(-7b)
                                                                                  (-c)+2(-c)(3a)
                         = 9a²+49b²+c²-42ab+14bc-6ca
(v) (-2x+5y-3z)² = [(-2x)² +5y + (-3z)]²
                            =(-2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2(-2x)(5y)
                                                               + 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)
                            =4x²+25y² +9z²-20xy-30yz+ 12zx
(vi) [1/4a – 1/2b+1]² = [1/4a+(-1/2)+1]²
                             =(1/4a)²+(-1/2b)²+(1)²+2(1/4a)(-1/2b)
                                                              +2(-1/2b)(1)+2(1)(1/4a)
                             = 1/16a²+1/4b²+1-1/4ab – b +1/2a
5. गुणनखंड कीजिए :
(i) 4x² +9y²+16z² +12xy-24yz-16xz
(ii) 2x²+y²+8z² -2√2xy +4√2yz-8xz
हल : (i) 4x² +9y² + 16z² + 12xy-24yz-16xz
= (2x)² + (3y)² + (-4z)² +2(2x)(3y) + 2(3y)(-4z) + 2(2x)(-4z)
= [2x +3y + (-4z)]² = (2x +3y-4z)²
(ii) 2x² + y² + 8z² -2√2xy +4√2yz – 8xz
= (√2 x)² + (-y)² + (-2√2z)² + 2( √2 x)(-y) + 2(-y)(-2√2z)
                                                                   + 2(√2 x)(-2√2z)
= [√2x + (-y) + (-2√2z)]² = (√2x-y-2√2z)²
6.  निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए :
(i) (2x + 1)³     (ii) (2a-3b)³     (iii) [3/2x+1]³   (iv) [x-2/3y]³
हल : (i) (2x + 1)² = (2x)³ + 3(2x)² (1) + 3(2x)(1)² + (1)³
                            = 8x³+12x² +6x +1
(ii) (2a-3b)³ = (2a)³ -3(2a)²(3b) + 3(2a)(3b)² -(3b)³
                     = 8a-36a²b+54ab² -27b³
(iii) [3/2x+1]³ = (3/2x)³+3(3/2x)²(1)+3(3/2x)(1)²+1³
                        = 27/8x³+27/4x²+9/2x+1
(iv) [x-2/3y]³ = x³ – 3(x)²(2/3y) + 3(x)(2/3y)² – (2/3y)³
                      =x³ -2x²y + 4/3xy² – 8/27y³
7. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)³       (ii) (102)³          (iii) (998)³
हल: (i) (99)³ = (100 – 1)³ = (100)³-1³-3(100)(1)(100 – 1)
                                         = 1000000-1 – 29700 = 970299
(ii) (102)³ = (100 + 2)³ = (100)³ + (2)³ + 3(100)(2)(100+ 2)
                                       = 1000000 + 8 + 61200 = 1061208
(iii) (998)³ =(1000-2)³ = (1000)³-(2)³-3(1000)(2)(1000 – 2)
                                      = 1000000000-8-5988000 = 994011992
8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए :
(i) 8a³+b³+12a²b+6ab²           (ii) 8a³-b³-12a²b+6ab²
(iii) 27-125a³-135a+225a²    (iv) 64a³-27b³-144a²b +108ab²
(v) 27p³ – 1/216 – 9/2p²+1/4p
हल : (i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab² = (2a)³ + (b)³
                                                                   +3(2a)(b)(2a + b)
                                    = (2a+b)³  = (2a + b)(2a+ b)(2a + b)
(ii) 8a³-b³ – 12a²b + 6ab² = (2a)³ – b³ -3(2a)(b)(2a-b) = (2a-b)³
                                           = (2a-b)(2a-b)(2a-b)
(iii) 27-125a³ – 135a + 225 a² = (3)³- (5a)³ -3(3)(5a)(3-5a)
                                                   = (3-5a)³ = (3-5a)(3-5a)(3-5a)
(iv) 64a³-27b³-144a²b +108ab²=(4a)³-(3b)³-3(4a)(3b)(4a-3b)
                                       = (4a-3b) = (4a-3b)(4a-3b)(4a-3b)
(v) 27p³-1/216 -9/2p²+1/4p=(3p)³-(1/6)³-3(3p)(1/6)(3p-1/6)
                                      =(3p-1/6)³ =(3p-1/6)(3p-1/6)(3p-1/6)
9. सत्यापित कीजिए:
(i) x³+y³ = (x+y)(x²-xy +y²)       (ii) x³-y³ = (x-y)(x² +xy +y²)
हल : (i) बायाँ पक्ष = (x+y)(x²-xy+y²) = x(x²-xy+y²)+y(x²-xy+y²)
                          =x³-x²y + xy² + x²y-xy² +y³ = x³ +y³ दायाँ पक्ष
अतः सिद्ध हुआ।
(ii) बायाँ पक्ष = (x-y)(x² + xy +y²)
                    = x(x² + xy+y²)-y(x² = xy+y²)
                    =x³+x²y + xy²-x²y-xy²-y³
                    =x³-y³= दायाँ पक्ष
अतः सिद्ध हुआ।
10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए :
(i) 27y³ + 125z²               (ii) 64m³-343n³
हल : (i) 27y³+ 125z³ = (3y)³ + (5z)³
                                  = (3y + 5z)[(3y)²-(3y)(52) + (5z)2]
                                   = (3y+ 52)(9y²-15yz+ 25z²)
(ii) 64m³-343n³ =(4m)³-(7n)³
                            =(4m-7n)[(4m)² + (4m)(7n) + (7n)²]
                            = (4m-7n)(16m² + 28mn + 49n²)
11. गुणनखंडन कीजिए : 27x³+y³+z³-9xyz
हल : 27x³+y³+z³-9xyz = (3x)³ +y³+z³-3(3x)(y)(z)
                                      = (3x+y+z)[(3x)² +y²+z²-(3x)y-yz-z(3x)]
                                      = (3x+y+z)(9x² +y²+z²-3xy-yz-3zx)
12. सत्यापित कीजिए : x³+y³+z³-3xyz
                                     =1/2 (x+y+z)[(x -y)² + (y-z)² + (z-x)²]
हल : बायाँ पक्ष =1/2 (x +y + z)(x -y)² + (y – z)² + (z-x)²]
                      =1/2(x+y + z)(x²-2xy +y²+y²-2yz +z²
                                                                        + z²-2zx +x²)
                      = (x+y+z)(x² +y² +z²-yz-zx-xy)
                      = x +y +2-3xyz = दायाँ पक्ष
अतः सिद्ध हुआ।
13. यदि x+y+z= 0 हो, तो दिखाइए कि x³ +y³ + z³ = 3xyz है।
हल : दिया है, x+y+z= 0
                  या, x+y= -z
दोनों पक्षों को घन करने पर,
                            (x+y)³ = (-z)³
या,           x³+y³ + 3xy(x +y) =-z³
या,           x³+y³-3xyz=-z³                                  [चूंकि x+y=-z]
या,          x³+y³+z³=3xyz, सिद्ध हुआ।
11. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात
कीजिए:
(i) (-12)³ + (7)³ + (5)³            (ii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³
हल : (i) माना x =-12, y=7 और z = 5
यहाँ,      x+y+z=-12+7+5=0
 या,       x³ +y³ +z³ = 3xyz
 या,       (-12)³ + (7)³ + (5)³ =3×(-12) x7x5= -1260
(ii) माना x = 28,y=-15 और z =-13
यहाँ,          x+y+z= 28-15-13 = 0
  या,           x³+y³ +z³ = 3xyz
  या,        (28)³ + (-15)³+ (-13)³ = 3(28)(-15)(-13) = 16380
15. नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई
और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए :
(i) क्षेत्रफल : 25a²-35a + 12         (ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y-12
हल : आयत की संभावित लम्बाई और चौड़ाई क्षेत्रफल के गुणनखंड होंगे।
(i) क्षेत्रफल = 25a²-35a+ 12 = 25a²-15a-20a + 12 = 5a(5a-3)-4(5a-3)
                                            = (5a-3)(5a-4)
.:       संभवतः लम्बाई और चौड़ाई (5a-3) और (5a-4) इकाई होगी।
(ii) क्षेत्रफल = 35y² + 13y- 12 = 35y² + 28y-15y-12
                                              =7y(5y+4)-3(5y +4)
                                              = (5y+4)(7y-3)
.:         संभवतः लम्बाई और चौड़ाई (5y +4) और (7y-3) होगी।
16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं की, विमाओं के लिए संभव
व्यंजक क्या हैं?
(i) आयतन:3x²-12x               (ii) आयतन : 12ky² +6ky-20k
हल : संभवतः घनाभों की भुजाएँ आयतन के गुणनखंड होंगे।
(i) आयतन =3×2-12x =3x(x-4)
.:    संभवतः घनाभ की भुजाएँ 3, x और (x-4) इकाई हैं।
(ii) आयतन     = 12ky² + 6ky-20k = 2k(4y2- +3y-10)
                      = 2k(4y²+ 8y-5y-10)
                      = 2k[4y(y+2)-5(y+2)]
                      = 2k(y+2)(4y-5)
.:       संभवतः घनाभ की भुजाएँ 2k, (y + 2) और (4y-5) इकाई हैं।
                                               ●

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