BIHAR BOARD CLASS 9TH MATH | दो चरों वाले रैखिक समीकरण
BIHAR BOARD CLASS 9TH MATH | दो चरों वाले रैखिक समीकरण
Bihar Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 Linear Equations in Two Variables (दो चरों में रैखिक समीकरण)
दो चरों वाले रैखिक समीकरण
प्रश्नावली 4.1
1. एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित
करने के लिए दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए।
हल: माना कि पुस्तक का मूल्य = x
तथा पेन का मूल्य =y
चूँकि एक पुस्तक का मूल्य, एक पेन के मूल्य से दोगुनी है। अतः अभीष्ट दो चरों वाले
रैखिक समीकरण = x = 2y.
2. निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को ax+by+c=0 के रूप में व्यक्त कीजिए और
प्रत्येक स्थिति में a,b और के मान बताइए :
(i) 2x+3y = 9.35 (ii) x-y/5 -10=0 (iii) -2x+3y =6
(iv)x= 3y (v) 2x=-5y (vi) 3x+2=0
(vii)y-2= 0 (viii) 5=2x
हल : (i) 2x +3y = 9 को 2x + 3y-9 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी ax + by + c= 0 से तुलना करने पर
a=2,b= 3 और c=-9.
(ii) x-y/5 – 10 = 0 की तुलना ax + by + c= 0 से करने पर
a= 1, b=-1 और c=-10.
(iii) -2x +3y = 6 को -2x + 3y-6=0 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
इसकी तुलना ax + by+c=0 से करने पर
a=-2, b= 3 और c=-6.
(iv) x = 3y को x-3y = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना ax + by + c=0 से करने पर
a= 1, b =-3 और c= 0.
(v) 2x =-5y को 2x +5y=0 के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना ax + by+c=0 से करने पर
a= 2,b=5 और c= 0.
(vi) 3x + 2 = 0 की तुलना ax + by + c= 0 से करने पर
a=3,b=0 और c=2.
(vii) y-2 = 0 की तुलना ax + by + c= 0 से करने पर
a=0, b= 1 और c=-2.
(viii) 5 = 2x को 2x-5 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना ax + by +c=0 से करने पर
a=2, b=0 और c=-5.
प्रश्नावली 4.2
1. निम्नलिखित विकल्पों में कौन-सा विकल्प सत्य है, और क्यों?
y=3x+5 का
(i) एक अद्वितीय हल है (ii) केवल दो हल हैं
(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
हल : दिया गया समीकरण y=3x + 5 है। y=0 के लिए
3x+5=0 या, x=-5/3
.: (-5/3,0) एक हल है। x = 0 के लिए, y=0+5=5
.: (0, 5) एक और हल है। x = 1 के लिए, y=3×1+5=8
.: (1,8) एक और हल है।
स्पष्ट रूप से x के विभिन्न मानों के लिए हम y का अलग मान प्राप्त करते हैं। इसीलिए
x का चुना गया मान y के मान के साथ मिलकर दिए गए हल का दूसरा एक और हल
बनाता है।
.: दो चरों वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
2. निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए :
(i) 2x+y=7 (ii) πx+y=9 (iii) x=4y
हल : (i) दिया गया समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है : y=7-2x
x=0 के लिए, y=7-2×0=7-0=7
x=1 के लिए, y=7-2×1=7-2=5
x=2 के लिए, y=7-2×2 =7-4=3
x= 3 के लिए, y=7-2×3=7-6 = 1
.: दिए गए समीकरण के चार हल हैं : (0,7), (1, 5), (2,3) और (3,1)
(ii) दिया गए समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है: y= 9 – πx
x=0 के लिए, y= 9-0 =9
x = 1 के लिए, y=9-π
x=2 के लिए, y=9-2π
x=3 के लिए, y=9-3π
.: दिए गए समीकरण के चार हल हैं : (0, 9), (1,9-π), (2,9 -2π) और
(3,9 – 3π).
(iii) दिया गया समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है : x = 4y
x=0 के लिए, y=0
x=1 के लिए, y=4×1=4
x=2 के लिए, y=4×2=8
x=3 के लिए, y=4×3 = 12
.: दिए गए समीकरण के चार हल इस प्रकार हैं : (0,0), (1,4), (2,8) और (3,12)
3. बताइए कि निम्नलिखित हलों में से कौन-कौन समीकरण x-2y =4 के हल हैं और
कौन-कौन हल नहीं है:
(i) (0,2) (ii) (2,0) (iii) (4,0) (iv) (√2,4√2) (v) (1,1)
हल : (i) x = 0 तथा y=2,x-2y = 4 के बाएँ पक्ष में रखने पर बायाँ पक्ष
= 0-2×2 =-4≠ दायाँ पक्ष
.: x= 0, y= 2 इसका हल नहीं है।
(ii) x-2y = 4 के बाएँ पक्ष में x=2,y = 0 रखने पर बायाँ पक्ष = 2-2×0
= 2 -0= 2 ≠ दायाँ पक्ष
.: x=2,y= 0 इसका हल नहीं है।
(iii) x-2y = 4 के बाएँ पक्ष में x = 4.y= 0 रखने पर बायाँ पक्ष = 4-0 = 4
= दायाँ पक्ष
.: x=4,y= 0 इसका हल है।
(iv) x-2y = 4 के बाएँ पक्ष में x =√2,y= 4√2 रखने पर बायाँ पक्ष
= √2-2×4√2 = √2-8√2 = -7√2 = दायाँ पक्ष
.: (√2,4√2) इसका हल नहीं है।
(v) x-2y = 4 के बाएँ पक्ष में x= 1,y=1 रखने पर बायाँ पक्ष =1-2×1=1-2
=-1 = दायाँ पक्ष
.: x= 1,y= 1 इसका हल नहीं है।
4. K का मान ज्ञात कीजिए जबकि x=2,y=1 समीकरण 2x +3y =k का एक हल हो।
हल : यदि x=2,y=1 समीकरण 2x +3y=k का हल है तो ये मान समीकरण को सन्तुष्ट
करेंगे।
.: 2×2+3×1=k या, k=4+3=7
प्रश्नावली 4.3
1. दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए :
(i)x+y=4 (ii) x-y=2 (iii) y=3x (iv) 3=2x+y
हल : (i) जब x +y = 4 या, y=4-x
जब x=0, y=4-0=4
जब x= 2,y=4-2 = 2
जब x = 4,y=4-4 = 0
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी हैं :
बिन्दुओं (0,4),(2,2) तथा (4.0) को ग्राफ पेपर
पर निरूपित करने तथा इन बिन्दुओं को जोड़ने वाली
रेखा खींचने पर हमें दिए गए समीकरण को प्रदर्शित
करने वाली रेखा का ग्राफ प्राप्त होता है, जैसा कि चित्र
में दिखाया गया है।
(ii)x-y=2 या,y=x-2
जब x = 0, y= 0-2 =-2
जबx= 2, y=2-2 = 0
जब x = 4,y=4-2=2
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है:
बिन्दुओं (0, -2), (2,0) और (4,2) को ग्राफ पेपर पर निरूपित करने पर इन बिन्दुओं को
जोड़ने वाली रेखा खींचने पर हमें दिए गए समीकरण को प्रदर्शित करने वाली रेखा का ग्राफ प्राप्त होता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
(iii) y=3x
जब x=0, y=3(0)=0
जबx=1, y=3(1) =3
जबx=-1 y= 3(-1)=-3
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है:
विन्दुओं (0,0), (1,3) और (-1,-3) को ग्राफ पेपर पर निरूपित करने तथा इन बिन्दुओं
को जोड़ने वाली रेखा खींचने पर हमें दिए गए समीकरण को प्रदर्शित करने वाली रेखा का ग्राफ
प्राप्त होता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
(iv) 3 = 2x +y या, y=3-2x
जब x=0, y=3-2(0)=3-0=3
जबx=3, y=3-2 (3)= 3-6 =-3
जबx=-1, y=3-2(-1)= 3+2=5
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी हैं :
बिन्दुओं (0, 3), (3,-3) और (-1, 5) को
ग्राफ पेपर पर निरूपित करने तथा इन बिन्दुओं को
जोड़ने वाली रेखा खींचने पर हमें दिए गए समीकरण
को प्रदर्शित करने वाली रेखा का ग्राफ प्राप्त होता
है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
2. बिन्द (2,14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की
और कितनी रेखाएँ हो सकती हैं, और क्यों ?
हल : यहाँ (2, 14) रैखिक समीकरण का हल है। हम इस प्रकार के एक समीकरण को
ढूंँढ रहे हैं। जैसे कि 7x-y = 0. नोट करें x+y = 16, 2x + y = 18 तथा 7x + y = 28
भी (2,14) के निर्देशांक बिन्दुओं से सन्तुष्ट होती हैं। अतः बिन्दु (2, 14) से होकर गुजरती
हुई कोई भी रेखा रैखिक समीकरण जिसके लिए (2,14) एक हल का उदाहरण है। इसीलिए
(2,14) बिन्दु से होकर गुजरती हुई अनन्त रेखाएँ हैं।
3. यदि बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax +y के आलेख पर स्थित है तो a का मान ज्ञात
कीजिए।
हल : चूँकि (3, 4) समीकरण (3y = ax + 7) के ग्राफ पर स्थित है। अतः (3,4) दी गई
समीकरण को सन्तुष्ट करता है।
अर्थात् 3(4) = a(3) +7 = 12-7=3a या, 3a=5 या,a=5/3
अतःa=5/3,(3,4) समीकरण 3y = ax + 7 के ग्राफ पर स्थित है।
4. एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है : पहले किलोमीटर का किराया 8
रु है उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया 5 रु है। यदि तय की
गई दूरी x किलोमीटर हो, और कुल किराया yरु हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण
लिखिए और उसका आलेख खींचिए।
हल : पहले किमी. के लिए कार का भाड़ा = 8 रुपये
अगले किमी. के लिए कार का भाड़ा = 5 रुपये
कुल भाड़ा =y रुपये
कुल दूरी =x किमी.
दी गई जानकारी के लिए, दो चरों का रैखिक
समीकरण है: y=8×1+5(x-1)
या, y=8+ 5x-5
या, y=5x+3
या, 5x-y+3=0
जब x=0, y=5×0+3=0+3=3
जब x=-1, y=5x-1+3=-5+3=-2
जब x=-2, y=5x-2+3=-10+3=-7
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है:
बिन्दुओं (0, 3), (-1,-2) और (-2,-7) को ग्राफ पेपर पर निरूपित करने तथा उनको
जोड़ने वाली रेखा खींचने पर हमें अभीष्ट ग्राफ प्राप्त होता है।
5. निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों से सही
समीकरण का चयन कीजिए :
आकृति (a) के लिए आकृति (b) के लिए
(i) y=x (i) y= x +2
(ii) x+y=0 (ii) y=x-2
(iii) y= 2x (iii) y=-x+2
(iv) 2+3y = 7x (iv) x+2y=6
हल : आकृति (a) के लिए, दिए गए विकल्पों में से सही समीकरण x +y = 0 है क्योंकि
यह बिन्दु (-1, 1) से सन्तुष्ट है तथा (1,-1) ग्राफ पर दिया गया है।
आकृति (b) के लिए, दिए गए विकल्पों में से सही समीकरण (y = x + 2) है क्योंकि ये
बिंदु (-1, 3), (0, 2) से सन्तुष्ट हैं तथा (2,0) ग्राफ पर दिया गया है।
6. एक अचर बल लगाने पर एक पिंड द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की गई
दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है। इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप
में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खींचिए। यदि पिंड
द्वारा तय की गई दूरी (i) 2 मात्रक, (ii) 0 मात्रक हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य
ज्ञात कीजिए।
हल : माना कि दूरी =x
तथा किया गया कार्य =y
इसलिए प्रश्नानुसार समीकरण = y = 5x
इसका ग्राफ खींचने के लिए
जब x=0, y= 5(0)=0
जब x=1, y= 5(1)=5
जब x=-1 y=5(-1)=-5
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है :
बिन्दुओं (0,0), (1, 5) और (-1,-5) को ग्राफ पेपर पर निरूपित करने तथा इन बिन्दुओं
को जोड़ने वाली रेखा खींचने पर हमें दिए गए समीकरण को प्रदर्शित करने वाली रेखा का ग्राफ
प्राप्त होता है, जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है y=5x
ग्राफ से (स्पष्ट रूप से)
(i) जब तय की गई दूरी = 2 इकाई
अर्थात् x = 2 तब y = 10.
.: किया गया कार्य = 10
(ii) जब तय की गई दूरी = 0 इकाई
अर्थात् x=0 तब y=0
.: किया गया कार्य = 0
7. एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएँ यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकम्प
पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 रु अंशदान दिया।
एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आंकड़ों को संतुष्ट करती हो। (आप उनका
अंशदान : x रु और y रु मान सकते हैं) इस समीकरण का आलेख खींचिए।
हल : माना कि यामिनी तथा फातिमा का प्रधानमंत्री राहत कोष में योगदान x रुपये तथा
y रुपये है।
.: ऊपरलिखित आंकड़े (Data) के लिए रैखिक समीकरण x +y = 100.
या, y= 100-x.
इसका ग्राफ खींचने के लिए
जब x=0. y=100-0= 100
जब x = 100, y= 100-100=0
जबx=50, y = 100-50=50
इन मानों के लिए सारणी इस प्रकार है:
बिन्दुओं (0, 100), (100,0) तथा (50, 50) को ग्राफ पेपर पर निरूपित करने
तथा इन बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखा खींचने पर हमें रेखा
x+y= 100 का ग्राफ प्राप्त होता है, जैसा की दिखाया गया है।
8.अमरीका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत
जैसे देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। जैसे यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में
रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है :
F= (9/5)C+32
(i) सेल्सियस को x-अक्ष और फारेनहाइट को y-अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक
समीकरण का आलेख खींचिए।
(ii) यदि तापमान 30°C है तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा?
(iii) यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(iv) यदि तापमान 0°C है तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? और यदि तापमान 0°F
है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए
संख्यात्मकतः समान है? यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।
हल: (i) F=9/5C+32 या,C=5/9(F-32)
हम C के विभिन्न मानों के लिए F का मान निकालते हैं।
जब C=-40, F=9/5×(-40) + 32= -72+ 32 = -40
जब C = 10,F=9/5×10 + 32 = 18 + 32 = 50
माना की सारणी इस प्रकार है :
हमने -अक्ष (सेल्सियस के लिए लिया)
तथा y-अक्ष (फारेनहाइट के लिए) लिया तब
बिन्दुओं (-40-40) तथा (10,5C) को ग्राफ
बिन्दु पर निरूपित करते हैं। इन बिन्दुओं को
रेखाखण्ड से जोड़ने पर हम F=9/5C+32
का ग्राफ प्राप्त करते है।
(ii) ग्राफ से हमने देखा कि जब C = 30°, x-अक्ष पर C द्वारा दिखाया गया धनात्मक
दिशा में तब F= 86, y-अक्ष पर F1 द्वारा धनात्मक दिशा में दिखाया गया है।
अत: 30°C=86°F.
(iii) ग्राफ से हमने देखा की जब F= 95°, y-अक्ष पर F2 द्वारा धनात्मक दिशा में दिखाया
गया है तब C = 35, x-अक्ष पर C2 द्वारा धनात्मक दिशा में दिखाया गया है।
अत: 95°F=35°C.
(iv) ग्राफ से स्पष्ट है कि 0°C = 32°F तथा 0°F = 17.8°C.
(v) ग्राफ से स्पष्ट है कि, वह तापमान जो संख्यात्मक रूप से फारेनहाइट तथा सेल्सियस
में बराबर है
-40°C अर्थात् -40°C=-40°F.
प्रश्नावली4.4
1. (i) एक चर वाले (ii) दो चर वाले
समीकरण के रूप में y= 3 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
हल : (i) y = 3 को एक चर का रैखिक समीकरण लेते हुए अंक रेखा पर इसका हल
निम्नलिखित तरीके से दर्शाया गया है।
(ii) हम जानते हैं कि y= 3 को 0x+y
=3 के रूप में लिखा जा सकता है। अब
x के सभी मान सम्भव हैं चूंकि 0.x=0
लेकिन y के द्वारा इस सम्बन्ध को जरूर
सन्तुष्ट करना चाहिए।
अतः समीकरण के लिए तीन हल हैं।
x=0,y = 3;x=-2.y=3
बिन्दुओं (0, 3), (2,3) और (-2,3) को
निरूपित करने तथा उनको जोड़ने पर हम
AB ग्राफ प्राप्त करते हैं जो x-अक्ष के
समान्तर है तथा उससे 3 इकाई ऊपर की
दूरी पर है।
2. (i) एक चर वाले (ii) दो चर वाले
समीकरण के रूप में 2x+9=0 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
हल : (i) 2x +9 = 0 अर्थात् x = -9/2 को एक चर का रैखिक समीकरण लिया गया
है, इसका अंक रेखा पर हल इस प्रकार दर्शाया गया है।
-9/2 x=-9/2
(ii) हम जानते हैं कि 2x+9 = 0 को 2x + 0.y+9 = 0
के रूप में लिखा जा सकता है।
अब y के सभी मान सम्भव हैं। चूंकि 0.y= 0 लेकिन x
के द्वारा इस सम्बन्ध को सन्तुष्ट करना जरूरी है।
2x + 9 = 0 अर्थात् x= -9/2
अतः दी गई समीकरण के तीन हल हैं।
x=-9/2,y=0;x=-9/2,y=2
और x=-9/2,y=-2
.: इन बिन्दुओं को निरूपित करने पर (-9/2,0), (-9/2,2), (-9/2,-2) तथा इनको
जोड़ने पर ग्राफ AB का एक y अक्ष से बायीं ओर 9/2 की दूरी पर प्राप्त होती है।
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