रैखिक समीकरण = x = 2y.
हल : (i) 2x +3y = 9 को 2x + 3y-9 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी ax + by + c= 0 से तुलना करने पर
a=2,b= 3 और c=-9.
(ii) x-y/5 – 10 = 0 की तुलना ax + by + c= 0 से करने पर
a= 1, b=-1 और c=-10.
(iii) -2x +3y = 6 को -2x + 3y-6=0 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
इसकी तुलना ax + by+c=0 से करने पर
a=-2, b= 3 और c=-6.
(iv) x = 3y को x-3y = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना ax + by + c=0 से करने पर
a= 1, b =-3 और c= 0.
(v) 2x =-5y को 2x +5y=0 के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना ax + by+c=0 से करने पर
a= 2,b=5 और c= 0.
(vi) 3x + 2 = 0 की तुलना ax + by + c= 0 से करने पर
a=3,b=0 और c=2.
(vii) y-2 = 0 की तुलना ax + by + c= 0 से करने पर
a=0, b= 1 और c=-2.
(viii) 5 = 2x को 2x-5 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना ax + by +c=0 से करने पर
a=2, b=0 और c=-5.
प्रश्नावली 4.2
1. निम्नलिखित विकल्पों में कौन-सा विकल्प सत्य है, और क्यों?
y=3x+5 का
(i) एक अद्वितीय हल है (ii) केवल दो हल हैं
(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
हल : दिया गया समीकरण y=3x + 5 है। y=0 के लिए
3x+5=0 या, x=-5/3
.: (-5/3,0) एक हल है। x = 0 के लिए, y=0+5=5
.: (0, 5) एक और हल है। x = 1 के लिए, y=3×1+5=8
.: (1,8) एक और हल है।
स्पष्ट रूप से x के विभिन्न मानों के लिए हम y का अलग मान प्राप्त करते हैं। इसीलिए
x का चुना गया मान y के मान के साथ मिलकर दिए गए हल का दूसरा एक और हल
बनाता है।
.: दो चरों वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
2. निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए :
(i) 2x+y=7 (ii) πx+y=9 (iii) x=4y
हल : (i) दिया गया समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है : y=7-2x
x=0 के लिए, y=7-2×0=7-0=7
x=1 के लिए, y=7-2×1=7-2=5
x=2 के लिए, y=7-2×2 =7-4=3
x= 3 के लिए, y=7-2×3=7-6 = 1
.: दिए गए समीकरण के चार हल हैं : (0,7), (1, 5), (2,3) और (3,1)
(ii) दिया गए समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है: y= 9 – πx
x=0 के लिए, y= 9-0 =9
x = 1 के लिए, y=9-π
x=2 के लिए, y=9-2π
x=3 के लिए, y=9-3π
.: दिए गए समीकरण के चार हल हैं : (0, 9), (1,9-π), (2,9 -2π) और
(3,9 – 3π).
(iii) दिया गया समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है : x = 4y
x=0 के लिए, y=0
x=1 के लिए, y=4×1=4
x=2 के लिए, y=4×2=8
x=3 के लिए, y=4×3 = 12
.: दिए गए समीकरण के चार हल इस प्रकार हैं : (0,0), (1,4), (2,8) और (3,12)
3. बताइए कि निम्नलिखित हलों में से कौन-कौन समीकरण x-2y =4 के हल हैं और
कौन-कौन हल नहीं है:
(i) (0,2) (ii) (2,0) (iii) (4,0) (iv) (√2,4√2) (v) (1,1)
हल : (i) x = 0 तथा y=2,x-2y = 4 के बाएँ पक्ष में रखने पर बायाँ पक्ष
= 0-2×2 =-4≠ दायाँ पक्ष
.: x= 0, y= 2 इसका हल नहीं है।
(ii) x-2y = 4 के बाएँ पक्ष में x=2,y = 0 रखने पर बायाँ पक्ष = 2-2×0
= 2 -0= 2 ≠ दायाँ पक्ष
.: x=2,y= 0 इसका हल नहीं है।
(iii) x-2y = 4 के बाएँ पक्ष में x = 4.y= 0 रखने पर बायाँ पक्ष = 4-0 = 4
= दायाँ पक्ष
.: x=4,y= 0 इसका हल है।
(iv) x-2y = 4 के बाएँ पक्ष में x =√2,y= 4√2 रखने पर बायाँ पक्ष
= √2-2×4√2 = √2-8√2 = -7√2 = दायाँ पक्ष
.: (√2,4√2) इसका हल नहीं है।
(v) x-2y = 4 के बाएँ पक्ष में x= 1,y=1 रखने पर बायाँ पक्ष =1-2×1=1-2
=-1 = दायाँ पक्ष
.: x= 1,y= 1 इसका हल नहीं है।
4. K का मान ज्ञात कीजिए जबकि x=2,y=1 समीकरण 2x +3y =k का एक हल हो।
हल : यदि x=2,y=1 समीकरण 2x +3y=k का हल है तो ये मान समीकरण को सन्तुष्ट
करेंगे।
.: 2×2+3×1=k या, k=4+3=7
प्रश्नावली 4.3
1. दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए :
(i) x + y = 4
(ii) x – y = 2
(iii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y
उत्तर:
(i) x + y = 4
⇒ y = 4 – x
यदि: x = 0 है, तो y = 4 – 0 = 4
यदि x = 4 है. तो y = 4 – 4 = 0
2. बिन्द (2,14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की
और कितनी रेखाएँ हो सकती हैं, और क्यों ?
हल : यहाँ (2, 14) रैखिक समीकरण का हल है। हम इस प्रकार के एक समीकरण को
ढूंँढ रहे हैं। जैसे कि 7x-y = 0. नोट करें x+y = 16, 2x + y = 18 तथा 7x + y = 28
भी (2,14) के निर्देशांक बिन्दुओं से सन्तुष्ट होती हैं। अतः बिन्दु (2, 14) से होकर गुजरती
हुई कोई भी रेखा रैखिक समीकरण जिसके लिए (2,14) एक हल का उदाहरण है। इसीलिए
(2,14) बिन्दु से होकर गुजरती हुई अनन्त रेखाएँ हैं।
3. यदि बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax +y के आलेख पर स्थित है तो a का मान ज्ञात
कीजिए।
हल : चूँकि (3, 4) समीकरण (3y = ax + 7) के ग्राफ पर स्थित है। अतः (3,4) दी गई
समीकरण को सन्तुष्ट करता है।
अर्थात् 3(4) = a(3) +7 = 12-7=3a या, 3a=5 या,a=5/3
अतःa=5/3,(3,4) समीकरण 3y = ax + 7 के ग्राफ पर स्थित है।
4. एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है: पहले किलोमीटर का किराया Rs 8 है और आके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया Rs 5 है यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो, और कुल किराया Rs y हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख बीबिए।
उत्तर:
कुल तय की गई दूरी = x किमी
पहले किलोमीटर का किराया = Rs 8
बाकी बची हुई दूरी का किराया = Rs(x – 1)5
अत: कुल किराम = Rs [8 + 5(x – 1)]
∴ y = 8 + 5x – 5
⇒ y = 5x + 3
⇒ 5x – y + 3 = 0
यदि x = 0 है, तो y = 5 × 0 + 3 = 3
यादि x = 1 है, तो y = 5 × 1 + 3 = 8
अत: हमारे पास निम्नलिखित सारणी है-
उपर्युक्त मानों से आलेख खाँचने पर हमें आकृति 4.6 जैसी रेखा प्राप्त होती है-
5. निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों से सही
समीकरण का चयन कीजिए :
आकृति (a) के लिए आकृति (b) के लिए
(i) y=x (i) y= x +2
(ii) x+y=0 (ii) y=x-2
(iii) y= 2x (iii) y=-x+2
(iv) 2+3y = 7x (iv) x+2y=6
हल : आकृति (a) के लिए, दिए गए विकल्पों में से सही समीकरण x +y = 0 है क्योंकि
यह बिन्दु (-1, 1) से सन्तुष्ट है तथा (1,-1) ग्राफ पर दिया गया है।
आकृति (b) के लिए, दिए गए विकल्पों में से सही समीकरण (y = x + 2) है क्योंकि ये
बिंदु (-1, 3), (0, 2) से सन्तुष्ट हैं तथा (2,0) ग्राफ पर दिया गया है।
6. एक अचर बल लगाने पर एक पिंड द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की दूरी के अनुक्रमानुपाती है। इस कधन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बलमात्रक लेकर इसका आलेख बाँधिए। यदि पिंड द्वारा तय की गई दूरी (i) 2 मात्रक (ii) 0 मात्रक हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञान कीजिए।
उत्तर: माना कि तय की गई दूरी तथा किया गया काय क्रमशः x और y हैं।
y = 5x
आलेख खौचने के लिए,
यदि x = 0 है, तो y = 5 × 0 = 0
यदि x = 1 है, ते y = 5 × 1 = 5
यदि x = 2 है, ते y = 5 × 2 = 10
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है-
उपर्युक्त मानों से आलेख खींचने पर आकृति 4.8 जैसा आलेख प्राप्त होता है।
आलेख में देखने पर,
(i) यदि तय की गयी दूरी = 2 इकाई
तो किया गया कार्य = 10
(ii) यदि तय की गयी दूरी = 0 इकाई
तो किया गया कार्य = 0.
7. एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएँ यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में Rs 100 अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आंकड़ों को संतुष्ट करती हो। (आप अका अंशदान Rs x और Rs y मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खींचिए।
उत्तर: माना डात्राएँ यामिनी और फातिमा ने क्रमश: Rs x और Rs y का अंशदान प्रधानमंत्री राहत कोष को दिया। अत: उपरिलिखित आँकड़े के लिए रैखिक समीकरण
⇒ x + y = 100
अत: y = 100 – x
आलेख खाँचने के लिए,
यदि x = 0 है, जो y = 100 – 0 = 100
यदि x = 50 है, जो y = 100 – 50 = 50
यदि x = 100 है, जो y = 100 – 100 = 0
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है-
उपर्युक्त मानों से आलेख खोंचने पर आकृति 4.9 जैसा आलेल प्राप्त होता है।
8. अमेरिका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशों में नापमान सेरिलायस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है:
F = (9/5) C + 32
(i) मेल्मिषस को x – अक्ष और फारेनहाइट को y – अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खोंचने है।
(ii) यदि तापमान 30°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा?
(iii) यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(iv) यदि तापमान 0°C है तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? और यदि तापमान 0°F है, तो सेलिायम में तापमान क्या होगा?
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है? यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
(i) दिया गया समीकरण, F = (
9/5) C + 32
यदि C = 0 है तो F =
9/5 × 0 + 32 = 32
यदि C = 10 है तो F =
9/5 × 10 + 32 = 50
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है
अत: सेल्सियस को x – अथ पर तथा फारेनहाइट को y – अक्ष पर लेकर उपर्युक्त मानों सहायता से आलेख खींचन पर आकृति 4.10 प्राप्त होती है।
(ii) यदि C = 30 है, तो F = 9/5 × 30 + 32
= 54 + 32 = 86°F.
(iii) यदि F = 95°F है, तो 95 = 9/5 × C + 32
= 63 = 9/5 × C ⇒ C = 35°C.
(iv) यदि तापमान 0°C है तो F = 9/5 × 0 + 32
= 32°F.
तथा यदि नापमान है तो 0 = 9/5 × C = 32
C = -17.8°C.
(v) आलेख देखने पर स्पष्ट है कि यह तापमान जो संख्यात्मक रूप से फारेनहाइट और सोस्किायस में बराबर है, वह -40°C अर्थात् -40°C = -40F है।
प्रश्नावली4.4
1. (i) एक चर वाले (ii) दो चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
उतर: (i) y = 3 को एक चर वाले समीकरण के रूप में लेते हुए संख्या रेखा पर इसका हल आकृति 4.11 में दर्शाया हैं।
(ii) हम जानते हैं कि चर x और y वाले रैखिक समीकरण के रूप में हम y = 3 को 0 x + y = 3 के रूप में लिख सकते है। अब x के सभी मान मान्य झेते हैं, क्योंकि सदा ही शून्य होता है। फिर भी y का संबंध y = 3 को अवश्य संतुष्ट करना चाहिए।
अतः दिए गये समीकरण के दो हल x = 0, y = 3 और x = 2, y = 3 हैं।
अतः हमें निम्नलिखित सारणी प्राप्त होती है-
सारणी में दिए गए बिन्दुओं को मिलाने पर हमें एक रेखा प्राप्त होगी जो x-अक्ष के समान्तर होगी तथा x -अस से 3 इकाई ऊपर होगी (देखें आकृति 4.12)
2. (i) 1 एक चर वाले, (ii) दो चर वाले समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
उत्तर: (i) 2x + 9 = 0 ⇒ x = -9/2
x = -9/2 को एक चर वाले समीकरण के रूप में लेते हुए संख्या रेखा पर इसका हल आकृति 4.13 में दर्शाया गया है-
(ii) हम जानते हैं कि चर और । बाले रैखिक समीकरण के रूप में हम x = -9/2 को x + 0. y = -9/2 के रुप में लिख सकते हैं। अब y के सभी मान मान्य होते हैं, क्योंकि 0.y सदा ही शून्य होता है। फिर भी x को संबंध x = -9/2 अर्थात् 2x + 9 = 0 को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः दिए गए समीकरण के दो हल x = -9/2, y = 0 और x = -9/2 y= 2 है।
अत: हमें निम्नलिखित सारणी प्राप्त होती है-
सारणी में दिए गए बिन्दुओं को मिलाने पर हमें एक रेखा प्राप्त होगी जो y – अक्ष के समानर होगी तथा y – अक्ष से वार्यों और 9/2 इकाई दूरी पर होगी (आकृति)।
