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BIHAR BOARD CLASS 9TH MATH | चतुर्भुज

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BIHAR BOARD CLASS 9TH MATH | चतुर्भुज

Bihar Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 Quadrilaterals (चतुर्भुज)

                                            चतुर्भुज
                                        प्रश्नावली 8.1
1.  एक चतुर्भुज के कोण 3:5:9:13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण
ज्ञात कीजिए।
हल : माना कोण है (3x)°, (5x)°, (9x)° और (13x)°
तब 3x+5x+9x+13x = 360
⇨                     30x = 360
⇨                x = 360/30 =12
.:   कोण हैं (3×12)°, (5×12)°, (9×12)° और (13 x 12)° अर्थात् 36°, 60°, 180°
और 156° हैं।
2.  यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है ।
हल : समांतर चतुर्भुज ABCD में, AC = BD.
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है।
प्रमाण : ∆ABC और ∆DCB में, दिया है
                            AB= DC
[समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ]
                            BC = BC                          [उभयनिष्ठ]
और                      AC = DB                            [दिया है।]
.:  सर्वांगसम की SSS रचना द्वारा,
                      ∆ABC = ∆DCB
⇨                  ∠ABC ≈∆DCB                        ….(1)
   [सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं।]
लेकिन AB || DC और BC उनको काटते हैं
.:                    ∠ACB + ∠DCB = 180°           …..(2)
        [क्रमागत आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।]
⇨                    2∠ABC = 180°
⇨                      ∠ABC = 90°
इस प्रकार,            ∠ABC = ∠DCB = 90°
⇨ ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण 90° है।
अत: ABCD एक आयत है।
3.  दर्शाइए कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
हल : चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC और BD
बिन्दु O पर काटते हैं, जिससे कि AO= OC, BO
=OD और AC⊥ BD प्राप्त होते हैं।
सिद्ध करना है : ABCD एक समचतुर्भुज है।
प्रमाण : चूँकि चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC
और BD एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित
करते हैं।
.:      AC, रेखाखंड BD का लंब समद्विभाजक है
⇨  A और C दोनों B और D से समान दूरी पर हैं
⇨                       AB = AD और CB = CD               …. (1)
साथ ही, BD रेखाखंड AC का लंबीय समद्विभाजक है
⇨ B और D दोनों A और C से समान दूरी पर स्थित हैं
⇨                               AB = BC और AD = DC        ….(2)
समी. (1) व (2) से, AB = BC = CD = AD
इसी प्रकार ABCD एक चतुर्भुज है, जिसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोणों पर समद्विभाजित करते हैं और चारों भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, ABCD एक समचतुर्भुज है।
दूसरा प्रमाण : पहले हम सिद्ध करेंगे कि ABCD एक समचतुर्भुज है।
∆AOD और ∆COB में,
                          AO = OC                    [दिया है।]
                          OD = OB                     [दिया है।]
                     ∠AOD = ∠COB                [उर्ध्वाभिमुख कोण]
सर्वांगसम की SAS रचना द्वारा,
                      ∆AOD≈ ∆COB
⇨                 ∠OAD = ∠OCB                                      …..(1)
              [सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग समान होते हैं।]
अब रेखा AC, AD और BC को बिंदु A तथा C पर क्रमशः इस प्रकार काटती है कि
                    ∠OAD = ∠OCB                   [समी. (1) से]
अर्थात् आंतरिक एकांतर कोण बराबर होते हैं।
.:                                   AD || BC
      इसी प्रकार,                AB || CD
अतः, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
अब हम सिद्ध करेंगे कि समांतर चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।
∆AOD और ∆COD में,
                         OA = OC                 [दिया है।]
                    ∠AOD = ∠COD            [दोनों समकोण हैं।]
                         OD = OD                  [उभयनिष्ठ]
.:     सर्वांगसम की SAS रचना द्वारा,
                            ∆AOD≈ ∆COD
⇨                             AD = CD                                   …..(2)
              [सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं।]
अब ABCD एक समचतुर्भुज है
                                 [ऊपर सिद्ध है।]
⇨                            AB = CD और AD = BC
                    [समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
⇨                            AB = CD = AD = BC             [समी. (2) से]
अतः, चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।
4.  दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
हल : दिया है : एक वर्ग ABCD
सिद्ध करना है : AC = BD, AC ⊥ BD और
OA = OC,OB = OD.
प्रमाण : चूंकि ABCD एक वर्ग है इसलिए AB
||DC और AD || BC.
अब, AB || DC और तिर्यक रेखा AC उन्हें
क्रमश: A और C पर काटती है।
.:                ∠BAC = ∠DCA [आंतरिक एकांतर कोण बराबर होते हैं।]
                 ∠BAO = ∠DCO                                              ….(1)
पुनः, AB || DC और BD उन्हें क्रमश: B और D पर काटती है
.:               ∠ABD = ∠CDB [चूंकि आंतरिक एकांतर कोण बराबर होते हैं।]
⇨            ∠ABO = ∠CDO                                              …..(2)
अब ∆AOB और ∆COD में,
               ∠BAO = ∠DCO                                       [समी. (1) से]
                     AB = CD       [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
और,        ∠ABO = ∠CDO                                      [समी. (2) से]
.: सर्वांगसम की ASA रचना द्वारा
            ∆AOB ≈ ∆COD
⇨             OA = OC और OB=OD
          [सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं।]
अतः विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
∆ADB और ∆BCA में,
                        AD = BC        [वर्ग की भुजाएँ बराबर होती हैं]
                   ∠BAD = ∠ABC                   [प्रत्येक कोण 90°]
और,                  AB = BA                                   [उभयनिष्ठ]
.:   सर्वांगसम की SAS रचना द्वारा
                        ∆ AD≈ ∆ BCA
⇨                       AC = BD
            [चूंकि सर्वांगसम त्रिभुज के सदृश भाग बराबर होते हैं]
अतः विकर्ण बराबर हैं।
अब ∆AOB और ∆AOD में,
                    OB = OD [चूंकि समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को
                                                                  समद्विभाजित करते हैं।]
                     AB = AD            [चूंकि वर्ग की भुजाएँ बराबर होती हैं।]
और               AO = AO                                               [उभयनिष्ठा]
.: सर्वांगसम की SSS रचना द्वारा,
                          ∆AOB≈ ∆AOD
⇨                     ∠AOB = ∠AOD          [सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश
                                                                        भाग बराबर होते हैं]
लेकिन
           ∠AOB+ ∠AOD = 180°
.:           AOB = ∠AOD = 90°
⇨                         AO ⊥ BD
⇨                         AC ⊥ BD
अतः विकर्ण समकोणों पर काटते हैं।
5.  दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समद्विभाजित करें,
तो वह एक वर्ग होता है।
हल : दिया है : एक चतुर्भुज ABCD में विकर्ण
AC = BD, AO = OC, BO=OD और AC ⊥ BD हैं।
सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।
प्रमाण : पहले हम सिद्ध करेंगे कि ABCD एक
समांतर चतुर्भुज है।
            ∆AOD और ∆COB में,
                                  AO = OC              [दिया है।]
                                  OD = OB              [दिया है।]
                             ∠AOD = ∠COB        [उर्ध्वाभिमुख कोण]
सर्वांगसम की SAS रचना द्वारा
                       ∆AOD ≈ ∆COB
⇨                      OAD = ∠OCB                        ….(1)
      [सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं।]
अब रेखा AC रेखा AD और रेखा BC को क्रमश: A और C पर काटती हैं, जिससे
कि
                  ∠OAD = ∠OCB                          [समी. (1) से]
अर्थात् आंतरिक एकांतर कोण बराबर होते हैं।
.:                            AD || BC
इसी प्रकार,               AB || CD
अत: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
अब हम सिद्ध करेंगे कि यह एक वर्ग है
∆AOB और ∆AOD में,
                          AO = BO             [उभयनिष्ठ]
                     ∠AOB = ∠AOD        [प्रत्येक = 90°, दिया है।]
और,                    OB = OD [चूंकि समांतर चतुर्भुजों के विकर्ण एक-दूसरे
                                                                 को समद्विभाजित करते हैं।]
.:     सर्वांगसम की SAS रचना द्वारा
                              ∆AOB≈∆AOD
⇨                               AB = AD
                                     [सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं।]
परंतु                             AB = CD और AD = BC
                 [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
.:                                AB= BC = CD = AD                ….(2)
अब ∆ ABD और ∆BAC में,
                       AB = BA                                [उभयनिष्ठ]
                       AD = BC    [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं।]
और                  BD = AC                                [दिया है।]
.:      सर्वांगसम की SSS रचना द्वारा
                    ∆AB≈ ∆BAC
⇨            ∠DAB = ∠CBA
           [सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं।]
6. समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण
A को समद्विभाजित करता है (देखिए 
आकृति)। दिखायें कि
(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
हल : (i) दिया है : चतुर्भुज ABCD जिसमें
विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है : विकर्ण AC, ∠C को
समद्विभाजित करता है।
प्रमाण : चूँकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है,
अत: AB ∥ DC
अब AB∥DC और AC उन्हें काटता है।
.:                                  ∠1 = ∠3       …..(1) [आंतरिक एकांतर कोण]
पुन: AD∥ BC और AC उन्हें काटता है
.:                       ∠2=∠4                     ….(2) [आंतरिक एकांतर कोण)
लेकिन यह दिया गया है कि AC,∠A का समद्विभाजक है।
.:                                  ∠1 – ∠2                       …..(3)
समी. (1),(2) और (3) से,
                                     ∠3=∠4
अत: AC,∠C को समद्विभाजित करता है।
(ii) सिद्ध करना है : ABCD एक समचतुर्भुज है।
भाग (i) से : समी. (1), (2) और (3) से, ∠1 = ∠2 = ∠3=∠4
अब ∆ABC में,       ∠1 = ∠4
⇨                        AB = BC [त्रिभुज में समान कोणों के सामने की
                                                              भुजाएँ समान होती हैं।]
इसी प्रकार, ∆ADC में AD = DC
साथ ही, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है
.:                            AB =CD,AD = BC
इन्हें जोड़ने पर प्राप्त होता है,
                             AB = BC = CD = DA
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है।
7.   ABCD एक समचतुर्भुज है । दर्शाइए कि विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को
समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित
करता है।
हल : दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
सिद्ध करना है : (i) विकर्ण AC कोण A और
कोण C को समद्विभाजित करता है।
(ii) विकर्ण ED कोण B और कोण D को
समद्विभाजित करता है
प्रमाण : ∆ADC में,AD = DC
                           [समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं।]
⇨∠DAC = ∠DCA                                           ….(1)
       [त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
अब AB || DC और AC उन्हें समद्विभाजित करती है।
              ∠BCA = ∠DAC                   …..(2) [एकांतर कोण]
समी. (1) व (2) से,
                        ∠DCA = ∠BCA
⇨ AC कोण C को समद्विभाजित करता है।
∆ABC में,              AB = BC  [समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं।]
                           ∠BCA = ∠BAC                              ….(3)
            [त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं ।]
समी. (2) और (3) से,
                           ∠BAC= ∠DAC
⇨    AC कोण A को समद्विभाजित करता है
अतः, विकर्ण AC कोण A तथा कोण C को समद्विभाजित करता है।
इसी प्रकार, विकर्ण BD कोण B तथा कोण D को समद्विभाजित करता है।
8.  ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित
करता है । दर्शाइए कि (i) ABCD एक वर्ग है (ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।
हल : दिया है : ABCD एक आयत है जिसमें
विकर्ण AC कोण A और कोण C को समद्विभाजित
करता है ।
सिद्ध करना है : (i) ABCD एक वर्ग है।
(ii) विकर्ण BD कोण B और कोण D को
समद्विभाजित करता है।
प्रमाण : (i) चूँकि आयत ABCD में AC कोण A और कोण C को समद्विभाजित करता है।
.:                       ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4
                                                         [चूँकि प्रत्येक = 90°/2=45°]
.:   ∆ADC में,       ∠2 = ∠4
⇨                       AD = CD          [समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ।]
इस प्रकार, आयत ABCD एक वर्ग है।
(ii) वर्ग में विकर्ण कोणों को समद्विभाजित करता है।
अत : BD कोण B और कोण D को समद्विभाजित करता है।
9.   समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो
बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP= BQ
है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ∆APD ≈ ∆CQB
(ii) AP = CQ
(ii) ∆AQB ≈ ∆CPD
(iv) AQ= CP
(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
हल : दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
विकर्ण BD पर बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं
कि DP = BQ.
सिद्ध करना है : (i) ∆APD ≈ ∆CQB
(ii) AP= CQ
(iii) ∆AQB ≈ ∆CPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
रचना : AC को मिलाएँ जो BD से O बिंदु पर मिलती है।
प्रमाण : (i)∆APD और ∆CQB में,
                        AD = CB            [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ।]
                        AP = CQ            [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ]
                        DP = BQ                               [दिया है।]
.:             सर्वांगसम की SSS रचना द्वारा,
                          ∆APD≈ ∆CQB
(ii)                          AP = CQ         [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ।]
(iii) ∆AQB और ∆CPD में,
                        AB = CD               [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ।]
                        AQ = CP               [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ।]
                        BQ = DP                                       [दिया है।]
.:        सर्वांगसम की SSS रचना द्वारा
                      ∆AQB≈∆CPD
(iv)                    AQ = CP               [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ।]
(v) हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
इस प्रकार, AC और BD एक-दूसरे को O बिंदु पर काटते हैं।
.:                                OB=OD
लेकिन                        BQ = DP                         [दिया है]
⇨OB – BQ =OD-DP  ⇨ OQ= OP
इस प्रकार, चतुर्भुज APCQ में विकर्ण AC और PQ इस प्रकार हैं कि OQ = OP और
OA = OC अर्थात् विकर्ण AC और PQ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अतएव, APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
10. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AP और CQ
शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब
हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ∆APB≈∆CQD
(ii) AP=CQ
हल : (i) चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। अत: DC ||AB.
अब, DC ||AB और तिर्यक रेखा BD उन्हें B और D पर प्रतिच्छेदित करती है।
.:                  ∠ABD = ∠BDC              [आंतरिक एकांतर कोण]
अब, ∆APB और ∆CQD में,
                     ∠ABP = ∠QDC                 [चूँकि ∠ABD = ∠BDC]
                     ∠APB = ∠CQD                           [प्रत्येक = 90°]
 और,                  AB = CD             [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ।]
.:        सर्वांगसम की AAS रचना द्वारा,
                    ∆APB ≈ ∆CQD
(ii) चूँकि                ∆APB≈ ∆CQD
  .:                             AP = CQ
                    [चूँकि सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं।]
11. ∆ABC और ∆ DEF में, AB = DE,AB || DE, BC = EF और BC || EF हैं। शीर्षों A, B और C को क्रमशः शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) AD || CF और AD = CF है।
(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है।
(vi) ∆ABC ≈ ∆DEF है।
हल : दिया है : दो ∆ABC और ∆DEF इस प्रकार हैं कि AB = DE और
AB || DE साथ ही BC = EF और BC || EF.
सिद्ध करना है : (i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) AD || CF और AD = CF.
(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF
(vi)∆ABC≈∆DEF.
प्रमाण : (i) चतुर्भुज ABED में,
AB = DE और AB || DE
⇨ सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानांतर होता है।
⇨ ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) अब चतुर्भुज BEFC में,
      BC = EF और BC || EF
⇨सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानांतर होता है।
⇨BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) अब,            AD. = BE और AD || BE               …..(1)
                                   [चूँकि ABED एक समांतर चतुर्भुज है]
और                     CF = BE और CF || BE
                                   [चूँकि BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।]
समी. (1) और (2) से,
                              AD = CF और AD || CF.
(iv) चूँकि                 AD = CF और AD || CF
⇨सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानांतर होता है।
⇨ ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
(v) चूँकि ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
.:    AC = DF और AC || DE.
(vi) ∆ABC और ∆DEF में,
                      AB = DE         [समांतर चतुर्भुज ABED की सम्मुख भुजाएँ]
                      BC = EF          [समांतर चतुर्भुज BEFC की सम्मुख भुजाएँ]
और,               CA = FD          [समांतर चतुर्भुज ACFD की सम्मुख भुजाएँ]
.:             सर्वांगसम की SSS रचना द्वारा
                           ∆ABC ≈ ∆DEF.
12. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है ( देखिए आकृति)।
दर्शाइए कि
(i) ∠A=∠B
(ii) ∠C=∠D
(iii) ∆ ABC ≈ ∆BAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है।
हल : दिया है : ABCD एक समलंब है जिसमें
AB || DC और AD = BC है।
सिद्ध करना है: (i) ∠AD =∠B
(ii) ∠C=∠D
(iii) ∆ABC ≈ ∆BAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD
रचना : AB रेखाखंड खींचिए और एक CE || AD रेखा खींचिए ।
प्रमाण : (i)चूंकि AD ||CE और तिर्यक रेखा AE उन्हें क्रमशः A और E पर प्रतिच्छेद
करती है।
.:                     ∠A+∠E = 180°                                ….(1)
चूंकि AB || CD और AD ||CE. अत: AECD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇨                          AD = CE
⇨                          BC = CE              [चूंकि AD = BC (दिया है)]
इस प्रकार, ∆BCE में,BC = CE
⇨                     ∠CBE = ∠CEB
⇨                   180-∠B = ∠E
⇨                   180-∠E = ∠B                                     ….(2)
समी. (1) व (2) से, ∠A = ∠B
(ii) चूंकि               ∠A = ∠B
⇨                  ∠BAD = ∠ABD
⇨       180° – ∠BAD = 180° – ∠ABD
⇨                   ∠ADB = ∠BCD
⇨                        ∠D = ∠C अर्थात् ∠C = ∠D.
(iii) ∆ABC और ∆ BAD में,
                              BC = AD                            [दिया है।]
                              AB = BA                            [उभयनिष्ठ]
                              ∠A = ∠B                      [सिद्ध किया गया है।]
.: सर्वांगसम की SAS रचना द्वारा,
                        ∆ABC≈ ∆BAD
(iv) चूँकि      ∆ABC ≈∆BAD
                       AC = BD
[सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं।]
                                            प्रश्नावली 8.2
1.  ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और
DA के मध्य-बिन्दु हैं (देखिए आकृति)। AC उसका एक विकर्ण है । दर्शाइए कि
(i) SR || AC और SR = 1/2 AC है।
(ii) PQ = SR है।
(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
हल : दिया है : एक चतुर्भुज ABCD जिसमें P,
Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और
DA के मध्य-बिन्दु है, साथ ही AC इसका विकर्ण
है।
सिद्ध करना है : (i) SR || AC और SR = 1/2 AC
(ii) PQ = SR
(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
प्रमाण : (i) ∆ACD में,
AD का मध्य-बिन्दु S है और CD का मध्य-बिन्दु R है।
तब SR || AC और SR = 1/2 AC                        [मध्य-बिन्दु प्रमेय]
(ii) ∆ABC में, भुजा AB का P मध्य-बिन्दु है और भुजा BC का मध्य-बिन्दु Q है।
  तब                                 PQ|| AC
और                                PQ = 1/2 AC             [मध्य-बिन्दु प्रमेय]
इस प्रकार, हमने सिद्ध किया कि :
                                  PO||AC
                                  SR ||AC
                              ⇨ PQ|| SR
                                  PQ=1/2 AC
साथ ही,                      SR =1/2 AC
                             ⇨PQ = SR
(iii) चुंकि PQ = SR और PQ || SR
⇨ सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानांतर होता है।
⇨ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
2.  ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाएँ AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं । दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
हल : दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें
P,Q,R और S क्रमशः AB, BC, CD और DA
के मध्य-बिन्दु हैं। चतुर्भुज PQRS बनाने के लिए
PQ. QR, RS और SP को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : PQRS एक आयत है।
रचना : AC को मिलाएँ।
प्रमाण : ∆ABC में P और Q रेखा AB और BC
के मध्य-बिंदु हैं।
 .:                   PQ || AC और PQ =1/2 AC             ….(1)
इसी प्रकार, ADC में R और S रेखा CD और PD के मध्य-बिंदु हैं।
.:                     SR || AC और SR= 1/2 AC             …..(2)
समी. (1) और (2) से,
                       PQ || RS और PQ = SR
अब, चतुर्भुज PQRS में इसकी सम्मुख भुजाओं PQ और SR का एक युग्म बराबर और
समानांतर है।
.:           PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
.:                                  AB = BC             [समचतुर्भुज की भुजाएँ]
 ⇨                         1/2AB =1/2BC ⇨ PB = BQ
                                    ∠3 = ∠4
                               [एक त्रिभुज के बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
अब, ∆APS और ∆CQR में,
                       AP=CQ              [समान भुजाओं AB, BC के आधे]
                      AS = CR              [समान भुजाओं AD,CD के आधे]
                      PS = QR
                                       [समांतर चतुर्भुज PQRS की सम्मुख भुजाएँ]
                 ∆APS≈∆CQR                       [SSS सर्वांगसम प्रमेय]
⇨                                    ∠1= ∠2                           [C.P.C.T.]
अब,            ∠1+ ∠SPQ+ ∠3= 180°      [रैखिक युग्म स्वतः सिद्ध]
.:               ∠1+ ∠SPQ+ ∠3=∠2+∠PQR+∠4
लेकिन         ∠1=∠2 and ∠3=∠4                        [ऊपर सिद्ध है।]
.:                ∠SPQ=∠PQR                                  …..(3)
 चुंकि        SP || RQ उन्हें काटते हैं,
.:             ∠SPQ+∠PQR = 180°                             …(4)
समी. (3) व (4) से,
                            ∠SPQ= ∠PQR = 90°
इस प्रकार, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण SPQ = 90°
अत: PQRS एक आयत है।
3.  ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, Rऔर S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA
के मध्य-बिंदु हैं । दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।
हल : दिया है : ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S भुजाओं AB, BC, CD
और DA के क्रमशः मध्य-बिंदु हैं। चतुर्भुज PQRS प्राप्त करने के लिए PQ, QR, RS
और SP को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : PQRS एक समचतुर्भुज है।
रचना : AC को मिलाया।
प्रमाण : ∆ABC में P और Qभुजाओं AB और
BC के मध्य-बिंदु हैं।
.:                  PQ = AC
                    PQ =1/2AC                                   ….(1)
इसी प्रकार, ∆ADC में R और S भुजाओं CD और AD के मध्य-बिंदु हैं।
.:                       SR ||AC और SR =1/2AC          …..(2)
समी. (1) और (2) से,
                        PQ || SR और PQ = SR                ….(3)
अब, चतुर्भुज PQRS में इसकी सम्मुख भुजाओं PQ और SR का एक युग्म समानांतर और
समान है।                                                                [समी. (3) से]
            PQRS एक समांतर चतुर्भुज है                       …..(4)
अब, AD = BC [आयत ABCD की सम्मुख भुजाएँ।]
 ⇨               1/2AD =1/2BC ⇨   AS = BQ
∆APS और ∆BPQ में,
                               AP = BP                    [चुंकि P रेखा AB का मध्य-बिंदु है]
                           ∠PAS= ∠PBQ                                        [प्रत्येक = 90°]
                               AS = BQ                                  [ऊपर सिद्ध है।]
.:                        ∆APS ≈ ∆BPQ                    [SAS सर्वांगसम स्वतः सिद्ध]
⇨                            PS = PQ                                       ….(5) [C.P.C.T.]
समी. (4) और (5) से, हम समचतुर्भज PQRS प्राप्त करते हैं।
4.   ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है।
साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD
का मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के
समांतर खींची गई है, जो की F पर प्रतिच्छेद
करती है ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि F भुजा
BC का मध्य-बिंदु है।
हल : दिया है : समलंब चतुर्भुज ABCD में,
AB || DC
E भुजा AD का मध्य-बिंदु है, EF || AB.
सिद्ध करना है : F, BC का मध्य-बिंदु है।
रचना : DB को मिलाया। यह EF को G पर काटती है।
प्रमाण : ∆DAB में, E भुजा AD का मध्य-बिंदु है                   [दिया है।]
                                  EG||AB                                    [.: EF||AB]
.:  विलोम मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा G भुजा DB का मध्य-बिंदु है।
∆BCD में G भुजा BD का मध्य-बिंदु है                              [सिद्ध है]
                          GF || DC               [चुंकि AB||DC,EF||ABD DC||EF]
.: विलोम मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा F, भुजा BC का मध्य-बिंदु है।
5.  एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमशः
भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं (देखिए
आकृति) । दर्शाइए कि रेखाखंड AF तथा EC
विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
हल : दिया है: समांतर चतुर्भुज ABCD में E और
F भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं, जिसका
विकर्ण BD है।
सिद्ध करना है : BQ = QP = PD
प्रमाण : ABCD एक समांतर चतुर्भुज                        [दिया गया है।]
 .:        AB || DC और AB = DC       [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ।]
E भुजा AB का मध्य-बिंदु है।                                              [दिया है।]
.:                         AE =1/2AB                                …..(1)
F, CD, का मध्य-बिंदु है।
              CF=1/2 CD
              CF = 1/2AB                                       ….(2)  [चुंकि CD = AB]
समी. (1) व (2) से,         AE = CF
साथ ही,                         AE||CF                            [चुंकि AB||DC]
इस प्रकार चतुर्भुज AECF को सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समानांतर और समान हैं।
चतुर्भुज AECF एक समांतर चतुर्भुज है।
⇨                  EC || AF
⇨                  EQ ∥ APऔर OC || PF
∆BPA में, E भुजा BA का मध्य-बिंदु है          [दिया है।]
EQ ∥ AP                                                  [सिद्ध है।]
BQ = QP                                                                  …(3)
                                          [मध्य-बिंदु प्रमेय का प्रतिलोम]
इसी प्रकार ∆CQD को लेने पर, हम सिद्ध कर सकते हैं कि
                              DP = QP                                   ….(4)
समी. (3) व (4) से हमें प्राप्त होता है
                                BQ = QP = PD
अत: AF और CE विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
6.  दशाईए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
हल : दिया है : चतुर्भुज ABCD में, P,Q, R और S
क्रमश: AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
PR और QS एक-दूसरे को O पर प्रतिच्छेदित करते
हैं।
सिद्ध करना है : OP = OR, OQ = OS.
रचना : PQ,QR, RS, SP,AC और BD को मिलाया ।
प्रमाण : ∆ABC में, P और Q क्रमश: AB और BC
के मध्य-बिंदु हैं।
.:                PQIIAC और PQ=1/2AC
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि
                RS ||AC और RS=1/2AC
.:              PQ || SR और PQ = SR
इस प्रकार, चतुर्भुज PQRS की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समानांतर और समान हैं।
.:   चतुर्भुज PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
.:  समांतर चतुर्भुज PQRS के विकर्ण PR और QS अर्थात् चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से मिलने वाले रेखाखंड एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
7.  ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है । कर्ण AB के मध्य-बिंदु Mसे होकर BC के समांतर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि
(i) D भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
(ii) MD ⊥AC है।
(iii) CM = MA =1/2AB है।
हल : दिया है : ∆ABC बिंदु C पर समकोण है।
M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। साथ ही MD || BC
सिद्ध करना है : (i) D भुजा AC का मध्य-बिंदु है
(ii) MD⊥AC
(iii) CM = MA =1/2AB
प्रमाण : (i) ∆ABC में, M भुजा AB का मध्य-बिंदु है और MD || BC. अत: D भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
अर्थात्                AD = DC                                 …..(1)
(ii) चूँकि MD || BC
अत:                 ∠ADM = ∠ACB                  [सदृश कोण]
⇨                    ∠ADM = 90°         [चूँकि ZACEB = 90°] (दिया है)
परंतु ∠ADM + ∠CDM = 180°
                                    [ चूँकि ∠ADM और∠CDM एक रैखिक युग्म के कोण हैं।]
.:              90°+∠CDM = 180°   ⇨∠CDM = 90°
इस प्रकार,            ∠ADM = ∠CDM = 90°                        …..(2)
⇨                             MD⊥AC
(iii) ∆AMD और ∆CMD में,
                                  AD=CD                      [समी. (1) से]
                           ∠ADM = ∠CDM                [समी. (2) से]
और,                         MD = MD                         [उभयनिष्ठ]
.: सर्वांगसम SAS रचना से
                          ∆AMD = ∆CMD
⇨                            MA = MC
                  [ चूँकि सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग समान होते हैं।]
  साथ ही,         MA 1/2AB, चूँकि M भुजा AC का मध्य-बिंदु है
  अतः               CM = MA=1/2AB.
                                                 ●

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