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BIHAR BOARD CLASS 8TH MATH | गुणनखण्ड

BIHAR BOARD CLASS 8TH MATH | गुणनखण्ड

                                          गुणनखण्ड
किसी भी संख्या को ऐसे टुकड़ों में बाँटना जिसके गुणन से वह बनी है, करने की प्रक्रिया
गुणनखण्डन कहलाती है।
जैसे―               6a²b =3×2×a×a×b
                          9ab =3×3×a+b
 
                                 प्रश्नावली—14.1
1. दिए गए पदों में सार्व (उभयनिष्ठ) गुणनखंड ज्ञात कीजिए—
(a) 9y, 27                                  (b) 5x, 25x
(c) 7ab, –14ab                         (d) –16x²y², –x²y²z²
(e) 17x, 102y                             (f) 11xyz, 100z
(g) a²bc, ab²c, abc²                  (h) 2x, 3y, 5z
(i) 20x²y², 30y²z², 40z²x²         (j) 2x (a+b) (b+c),x (a+b)
उत्तर–(a)       9y =3×3×27
                     27 =3×3×3
सार्व उभयनिष्ठ गुणनखण्ड =3×3 = 9
 
(b)             5x =5×x
                25x = 5×5×x
सार्व गुणनखण्ड =5x
 
(c)          7ab =7×a×b
          –14ab =–2×7×a×b
सार्व गुणनखण्ड = 7ab
 
(d)    –16x²y² =–2×2×2×2×x×x²×y×y
          –2y222 =–x×x×y×y×z×z
सार्व गुणनखण्ड = x²y²
 
(e)           17x = 17×x
              102y =6×17×y
सार्व गुणनखण्ड = 17
 
(f)        11xy² = 11×x×y×z
             100z = 2×2×5×5×z
सार्व गुणनखण्ड = z
 
(g)          a²bc =a×a×b×c
               ab²c =a×b×b×c
               abc² =a×b×c×c
सार्व गुणनखंड = a×b×c= abc
 
(h)           2x =2×x×1
                3y =3×y×1
                5z =5×z×1
सार्व गुणनखंड = 1
 
(i)              20x²y² = 2×2×5×x×x×y×y
                 30y²z² =2×3×5×y×y×z×z
                 40z²x² =2×2×2×5×2×2×x×x
सार्व गुणनखण्ड =2×5 = 10
 
(j)       2x (a+b) (b+c),x (a+b)
          2x (a+b) (b+c =2×x× (a+b) × (b+ c)
                      x(a+b) =x× (a+b)
सार्व गुणनखण्ड =x(a+b)
 
2. दिए गए उदाहरण के आधार पर खाली जगह को भरिए—
उत्तर—(i)
(ii)            15ab = –3×5×a×b
.:    शेष गुणनखंड = 5ab
      
(iii)  शेष गुणनखंड = –20xy/–2xy = 10
 
(iv)  शेष गुणनखंड = –40x²y²/–20 = –2x²y²
 
(v)   शेष गुणनखंड = –27abc/–3ab = 9c
 
3. निम्नलिखित का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए—
(a) 12x² – 15y² – 24x²z²         (b) –6a² + 36a–24ab
(c) 3a²+ab+9a+3b                   (d) 6ab–4b+6–9a
(e) ab²+a²b+ ac+ bc                (f) a²bc +b²ca + c²ab +a+b+c
(g) a(b–c)+d (c–b)                  (h) 3y (y +3) +6y (3y +9)
(i) a³–3a²+a–3                          (j) ab²–bc²– ab + c²
(k) xy (a² +6²)+ab (x² + y²)
उत्तर—
(a) 12x²–15y²– 24x²z²
or,    3×2×2×x×x–3×5×y×y–2×2×2×3 × xyz × 2×2
or,   3(4x²–5y²– 8x²z²)
 
(b) –6a² + 3ba – 24 ab
Or, –2 × 3 ×a ×a +2 × 2 × 3 × 3 × a –2 × 2 × 2 × 3 × a × b
or, –6a (a – 6 + 4b)
 
(c) 3a² + ab + 9a + 3b
or, a (3a +b) + 3(3a + b)
or, (3a + b)(a + b)
 
(d) 6ab–4b + 6–9a
or, 2b (3a–2)–3 (3a – 2)
or, (3a –2) (26–3)
 
(e) ab² + a²b + ac + bc
or, ab (b + a) + c (b + a)
or, (b + a)(ab+c)
 
(f) a²bc + b²ca + c²ab + a + b + c
or, abc (a + b + c)+1 (a + b + c)
or, (a + b + c)(abc + 1)
 
(g) a(b–c) + d (c–b)
or, ab–ac + dc–db
or, a(b–c)–(b–c)
or, (a – b)(b – c)
 
(h) 3y (y + 3) + 6y (3y + 9)
or, 3y² + 9y + 18y² + 54y
or, 21y² + 63y
or, 21y (y + 3)
 
(i) a³– 3a² + a–3
or, a² (a –3)+1 (a –3)
or, (a – 3) (a² + 1)
 
(j) ab² – bc² – ab + c²
or, b (ab –c²) –1(ab –c²)
or, (ab – c²) (b– 1)
 
(k) xy(a² + b²) + ab (x² + y²)
or, xya² + xyb² + abx² + aby²
or, ay(ax + by) + bx (ax + by)
or, (ay + bx) (ax +by)
 
सर्वसमिकाओं के प्रयोग से गुणनखण्डन
महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ–
(i) b² = (a+b) (a–b)
(ii) (x+a) (x + b)= x² + (a + b)x+ab
 
                         प्रश्नावली—14.2
1. निम्नलिखित व्यंजकों का गुणनखंड ज्ञात कीजिए–
(a) 1+2x+x²                              (b) a²b²–6abc +9c²
(c) 1–(a–b)²                             (d) 16 (a–b)²–9(a+b)²
(e) (x +y)²–10 (x+y) + 25        (f) (a+b)²–4ab
(g) 4x²–y² + 4y –4                   (h) 9x²–n²/4
(i) a²+a+4+3a                           (j) x²+6x+8
(k) y²–13y + 30                         (l) x²+9x–22
उत्तर–(a) 1+2x+x²
or, 1+x+x+x²
or, 1(1+x)x (1+x)
or, (1+x)(1+x)
 
(b) a²b²–6abc +9c²
or, a²b²–3abc–3abc +9c²
or, ab(ab–3c)–3c (ab–3c)
or, (ab–3c) (ab–3c)
 
(c) 1–(a–b)²
or, 1–(a²–2ab–b²)
or, 1–a²+2ab+b²
or, (1–a–b)(1+a–b)
 
(d) 16(a–b)²–9(a+b²)
or, 16(a²–2ab+b²–9(a² +2ab+b²
or, 16a²–32ab + 16b²–9a²–18ab–9b²
or, 7a²+7b²–50ab
or, 7a²–50ab +7b²
or, 7a²–ab–49ab +7b²
or, a(7a–b)–7b (7a–b)
or, (7a–b)(a–7b)
 
(e) (x+y)²–10(x+y) + 25
or, (x+y)²–5(x+y)–5(x+y) +25
or, (x+y) [(x+y)–5]–5 [(x+y)+ 15]
or, (x+y–5) (x+y–5)
 
(f) (a + b)²–4ab
or  a²+2ab+b²–4ab
or a²_2ab+b²
or, a²–ab–ab + b²
or, a (a–b)–b(a–b)
or, (a–b) (a–b)
 
(g) 4x²–y² + 4y – 4
or, 4x²–(y+2)²
or, (2x–y+2) (2x+y–2)
 
(h) 9x²–n²/4
or,  (3x)²–(n/2)²
or,  (3x–n/2)(3x+n/2)
 
(i) a²+a+4+3a
or, a²+4a+4
or, a²+2a+2a+4
ar, a (a+2)+2(a+2)=(a+2 (a+2)
 
(j) x²+6x+8
or, x²+4x + 2x+8
or, x(x+4)+2 (x+4)
ar, (x+4)(x+2)
 
(k) y²–13y + 30
or, y²–10y–3y + 30
or, y(y–10)–3(y–10)
or, (y–10) (y–3)
 
(l) x²+9x–22
or, x²+11x–2xc–22
or, x(x+11)–2(x+11)
or, (x+11) (x–2)
 
2. निम्नलिखित व्यंजकों का गुणनखण्ड कीजिए–
(a) x²–6x–135                  (b) 8 (x +y)³ –50 (x +y)
(c) 4x² +9y² + 12xy –1     (d) 75–x² +10x
(e) 12a²–27                       (f) ax²–bx²+by²–ay²
उत्तर–(a) x² + 6x–135
or, x²–15x+ 9x–135
or, x(x–15)+9 (x–15)
or, (x–15) (x+9)
 
(b) 8(x +y)³–50 (x+y)
or, 2 (x+y) (2x+2y–5) (2x+2y+5)
or, 2 (x+ y) (2x+2y –5) (2x + 2y + 5)
 
(c) 4x² +9y² + 12xy–1
or, (2x)² + (3y)²+2 (2x) (3y)–1
or, (2x+3y)²–1²
or, (2x+3y+ 1) (2x+3y–1)
 
(d) 75–x²+10x
        –x²+10x +75
or, –x²+ 15x–5x+75
or, x(x–15)–5(x–15)
or, (x–15)(x–5)
 
(e) 12a²–27
or, 3(4a²–9)
or, 3[(2a)²–3²]
or, 3(2a–3)(2a+3)
 
(f) ax²–bx² + by²–ay²
or, (a–b)+y²(b–a)
or, (x²+y²) (a–b)
or, (x+y) (x–y) (a–b)
 
3. निम्नलिखित व्यंजकों का गुणनखंडन कीजिए–
(a) 16x⁴–81y⁴
(b) x⁴–1
(c) x⁴–(x–y)⁴
(d) 9x²–4y²–3x +2y
(e) (x+y)³ +4(x+y)² +4x+4y
उत्तर–(a) 16x⁴–81y⁴
or, ((2x)²)² – ((3y)²)²
or, (2x+3y)² – (2x–3y)²
or, (4x² + 12xy +9y²) (4x²–12xy +9y²)
or, (2x–3y) (2x +3y) (4x² +9y²)
 
(b) x⁴–1
or, (x²)²–(1²)²
or, (x² + 1) (x²–1)
or, (x–1) (x + 1) (x²+1)
 
(c) x⁴(x–y)⁴
or, (x²)–((x–y)²)²
or, (x²–x–y) (x²–2xy+y²)²
or, y(2x–y) (2x²–2xy +y²)
 
(d) 3x²–4y²–3x+2y
or, (3x)²–(2y)²–3x +2y
or, (3x+2y) (3x–2y)–3x+2y)
or, (3x+2y) (3x+2y–1)
 
(e) (x+y)³ +4(x+y)² +4x+4y
or, x³+3x²y + 3xy² + y² +4 (x² + 2xy + y²) + 4x + 4y
or x³+3x²y + 3xy² + y² +4x² + 8xy + 4y² + 4x + 4y
or x+y (x + y +z) (x+y+z)
 
                           बीजीय व्यंजकों का गुणनखंड
 
एकपदी का एक अन्य एकपदी से भाग–
6x²y/2x = 3×2×2×x×y/2×2 = 3xy
 
एक बहुपद का एकपदी से भाग
4x³–6y² +2x/2x = 2×2×x×x×x–2×3×x×x+2×x/2×x
                            = (2×x)(2×x×x)–(2×x)(3×x)+2×x/2×x
                            = 2×x×x–3×x
                            = 2x²–3x
 
बहुपद का बहुपद से भाग
                            x²+2x/x+2 = x(x+2)/x+2 = x
 
                                          प्रश्नावली–14.3
 
1. निम्नलिखित का भाग कीजिए–
(a) –2x²yz का 4xyz से         (b) –1/2xy का x/2 से
(c) (3x²)⁵ का (9x²)³ से          (d) (7x⁵)²× (3y⁵)⁵ का 27y³ से
(e) 8x⁶y⁶ का –4x⁴y⁶ से
उत्तर–(a)–2x²yz ÷4xyz
or,          –2×x×x×y×x/2×2×x×y×z
or,          –x/2
 
(b)         –1/2xy÷x/2
or,          –1/2×x×y/x/2
or,          –1/2×x×y×2/x
or,              y
 
(c) (3x²)⁵ ÷ (9x²)³
or,  (3x²)⁵/((3x)²)³
or,  (3х²)⁵/(3x)⁵
or,  3x²/3x
or,. 3×x×x/3×x = x
 
(d) (7x⁵)²× (Зу⁵)⁵ ÷ 27у³
or,  49x¹⁰× 243y²⁵/27y³
or,  7×7×x¹⁰×3×3×3×3×3× у³×у²²/3×3×3×у³
or, 49x¹⁰× 9y²²
ог, 441x¹⁰y²²
 
(e) 8x⁶у⁶÷ (— 4х⁴у⁶)
or,  2×2×2×х×х×х×х× у× у× у×у× у×у/–2×2×х×х×х×х×у×у×у×у×y×y
or, –2x²
 
2. दिए गए बहुपद को एकपदी से भाग कीजिए–
(a) (5m³ – 30m²) ÷ 5m    (b) (12x⁴– 6x²)÷ (–3x²)
(c) (5x²– 15x)÷ (x– 3)      (d) (6x⁴ + 9x³– 12x²) ÷ 3x²
उत्तर–(а) (5m³ — 30m²) ÷ 5m
  or,         5×m ×m×m –5×6×m×6/5m
  or,          m² — 6m
 
(b) (12x⁴– 6x²) ÷ (–3x²)
or,  3×4× x² × x²–3×2×x²/–3x²
or,  3x²× 4x² – 3x² × 2/–3x²
or,  –4х² + 2
 
(c) (5x²– 15x) ÷ (x–3)
or,  5×x×x–5×3×х/x–3
or, 5x–5
or, 5(x–1)
 
(d) (6x⁴ + 9x³–12x²) ÷ 3x²
or,  3×2 × x² × x² + 3×3× x² ×x –3× 4×x²/3x²
or,  3x² × 2x² + 3x² × 3x – 3x²×4/3x²
or, 2x² + 3x – 4
 
3. भाग कीजिए–
(a) (a² + 8a +16) ÷ (a + 4)
(b) {(a + b)²–4ab}÷ (a – b)²
(c) (a⁴–b⁴) ÷ (a²–ab)
(d) (x⁴–81) ÷ (x² +9)
(e) 121x² + 16y² – 88xy ÷ 4y – 11x
(f) (x²–x–30) ÷ (x – 6)
(g) {p²–p + 1/4} ÷ {p–1/2}
(h) (x² – 5xy + 6y²) ÷ (x–2y)
(i) (27x³ + 3x²– 2x + 8) ÷ (3x – 2)
उत्तर―(a) (a² + 8a +16) ÷ (a +4)
or,           a² + 8a+16/a+4
or,           a² + 4a + 4a +16/a+4
or,           a(a + 4)+4(a +4)/a+4 
or,             (a + 4)(a +4)/a+4
or,             a +4 
 
(b) [(a + b)²–4ab] ÷ (a – b)²
or,  (a + b)²–4ab/(a–b)²             (a – b)² = (a + b)² – 4ab)
or,. (a – b)²/(a – b)² = 1
 
(c) (a⁴ – b⁴ ÷ a² –ab)
or,  a⁴–b⁴/a²–ab
or,  (a²)²–(b²)²/a²–ab
or,  (a² + b²)–(a² – b²)/a² – ab
or,  a² + 2ab + b² –(a²–2ab–b²)/a²–ab
or,  a² + 2ab + b²–a²–2ab–b²/a² – ab
or,  4ab +2b²/a²–ab = 3ab +2b²/a²
 
(d) (x⁴–81) ÷ x² +9
or,   x⁴–3⁴/x²+9 
or,  (x²) – (3²)²/x²+9
or,  (x² +9)(x² – 9)/x² + 9 = (x²–9)
 
(e) 121x² + 16y² – 88xy ÷ 4y – 11x
or, 121x²–88xy + 16y²
or, (11x)²– 2×11x×4y+(4y)²/4y–11x
or, (11x–4y)/4y–11x
or, (11x–4y)(11x – 4y)/4y–11x = 11x–4y
 
(f) x²–x–30 ÷ x–6
or, x²–x–30 ÷ x–6 
or, x² – 6x + 5x–30/x–6
or, x(x–6) + 5(x–6)/x–6
or, (x–6)(x+5)/x–6
or,  x+ 5
 
(g) p²–p+1/4÷p–1/2
or, p²–p–(1/2)²/p–1/2
or, p²–2×p×1/2–(1/2)²/p–1/2
or, (p–1/2)/p–1/2
or, (p–1/2)(p–1/2)/p–1/2
or, p–1/2
 
(h) x²–5xy+6y²÷x–2y
or, x²–5xy+6y²/x–2y
or, x²–3xy–2xy+6y²/x–2y
or, x(x–3y)–2y(x–3y)/x–2y
or, (x–2y)(x–3y)/x–2y = x–3y
 
(i) (27x³+3x²–2x+8)÷(3x–2)
or, (3x)³+3x²–2x+8/3x–2
or, 27x³+3x²–2x+8/3x–2
or, (3x–2)(9x²+7x–5)/3x–2
or, 9x²+7x–5
 
                                             ■
 

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