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BIHAR BOARD CLASS 9TH MATH | रचनाएँ

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BIHAR BOARD CLASS 9TH MATH | रचनाएँ

Bihar Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 Constructions (रचनाएँ)

                                       रचनाएँ
                                     प्रश्नावली 11.1
1.  एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिन्दु पर 90° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित
रचना की पुष्टि कीजिए।
हल : रचना के पद :
1.किरण OA खींचिए।
2. इसके आरंभिक बिंदु को केन्द्र मानकर किसी भी
त्रिज्या का एक चाप CDE लगाया जो OA को C
पर काटता है।
3.C को केन्द्र मानकर समान त्रिज्या (बिन्दु 2 के
अनुसार) का चाप खींचा जो चाप CDE को D पर
काटता है।
4. D को केन्द्र मानकर समान त्रिज्या का चाप खींचा जो CDE को E पर काटता है।
5. D और E को केन्द्र मानकर, सुविधाजनक त्रिज्या (1/2 DE से अधिक ) भरें और दो
चाप काटें जो एक-दूसरे को P बिन्दु पर काटें।
6. OP को मिलाएँ। इस प्रकार ∠AOP = 90°.
सत्यापन : रचना, OC = CD = OD द्वारा
.:      ∆OCD एक समबाहु त्रिभुज है। अत: ∠COD = 90°.
पुन: OD= DE = EO
.:  ∆ODE भी एक समबाहु त्रिभुज है। अत: ∠DOE = 60°.
 OP द्विभाजित करता है ∠DOE को, अत: POD = 30°.
अब, ∠AOP = ∠COD+∠DOP = 60° + 30° =90°.
2. एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिन्दु पर 45° के कोण की रचना कीजिए और कारण
सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल : रचना के पद :
1. किरण OA खींचिए ।
2. O को केन्द्र मानकर किसी भी सुविधाजनक
त्रिज्या का एक चाप खींचा, जो OA को B बिन्दु
पर काटता है।
3.B को केन्द्र मानकर समान त्रिज्या से पहले
खीचे चाप को C पर काटिए और फिर C केन्द्र
से समान त्रिज्या भरकर चाप को D पर काटिए।
4. C केन्द्र से CD की आधी से अधिक त्रिज्या भरकर एक चाप खींचिए ।
5. D केन्द्र से समान त्रिज्या का दूसरा चाप खींचिए जो पिछले चाप को E पर काटे ।
6. OE को मिलाइए। इस प्रकार ∠AOE = 90°
7. ∠AOE का द्विभाजक OF खींचिए। इस प्रकार ∠AOF = 45°
सत्यापन:
रचना में ∠AOE = 90° और OF द्विभाजक है ∠AOE का
.:          ∠AOF = 1/2∠AOE = 1/2×90 °=45°
3.  निम्न मापों के कोणों की रचना कीजिए :
(i) 30°      (ii) 45°/2    (iii) 15°
हल : (i) रचना के पद :
1. किरण OA खींचिए।
2. इसके आरंभिक बिन्दु O को केन्द्र मानकर किसी
भी त्रिज्या का एक चाप खींचिए जो OA को C पर
काटता है।
3.C केन्द्र और समान त्रिज्या (बिन्दु 2 के अनुसार)
से एक चाप खींचिए जो बिन्दु वाले चाप को D पर
काटें।
4.C और D केन्द्र से किसी भी सुविधाजनक त्रिज्या
(1/2CD से अधिक) वाले दो चाप खींचिए जो
परस्पर B पर काटें।
5.OB को मिलाइए। इस प्रकार ∠AOB = 30°.
(ii) रचना के पद:
1. एक कोण AOB = 90° की रचना कीजिए।
2. ∠AOB का द्विभाजक C खींचिए, इस प्रकार
∠AOC = 45°.
3, ∠AOC का समद्विभाजक खींचिए, जैसे कि
∠AOD=∠COD = 22.5°
इस प्रकार, ∠AOD=22.5°
(iii) रचना के पद:
1.∠AOB = 60° की रचना कीजिए।
2.समद्विभाजक ∠AOB, अत: ∠AOC=∠BOC=30°.
3. समद्विभाजक ∠AOC, अत: ∠AOD =∠COD=15°.
इस प्रकार, ∠AOD = 15.
4.  निम्न कोणों की रचना कीजिए और चाँद द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए :
(i) 75°       (ii) 105°     (iii) 135°
हल : (1) रचना के पद :
1. एक किरण OA खींचिए।
2.∠AOB = 60° बनाइए।
3.∠AOP = 90° बनाइए।
4.∠BOP को समद्विभाजित कीजिए जिसमें कि
∠BOR = 1/2∠BOP = 1/2(∠AOP-∠AOB)
            = 1/2(90° – 60°) = 1/2×30° = 15°
अतः हमें प्राप्त होता है
AOQ = ∠AOP + ∠BOQ
         = 60° + 15º = 75°
सत्यापन:
∠AOQ को चाँद से मापने पर हमें प्राप्त होता है
∠AOQ=75°.
(ii) रचना क पद :
1. रेखाखंड XY खींचिए ।
2. ∠XYT = 120° और ∠XYS = 90° की रचना
कीजिए, जिससे कि
∠SYT=∠XYT-∠XYS= 120°-90° =30°
3. YZ रेखा खींचकर ∠SYT को समद्विभाजित
कीजिए। इस प्रकार ∠XYZ, 105° का अभीष्ट
कोण है।
(i) रचना के पद:
1. ∠AOE= 90° खींचिए। फिर, ∠LOE= 90°.
2. ∠LOE का द्विभाजक OF खींचिए। इस प्रकार,
∠AOF = 135°
5.  एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हुई हो तथा कारण सहित
रचना कीजिए।
हल : रचना के पद:
आईए 4.6 cm भुजा के एक समबाहु त्रिभुज का
निर्माण करते हैं।
1. BC = 4.6cm खींचिए।
2. B और C को केन्द्र मानकर BC = 4.6 cm
त्रिज्या के दो चाप काटें जो परस्पर A पर काटते हैं।
3.AB और AC को मिलाइए। इस प्रकार, ABC
अभीष्ट समबाहु ∆ है।
सत्यापन : चूँकि रचना द्वारा AB=BC=CA=4.6cm
∆ABC एक समबाहु ∆ है।
                                          प्रश्नावली 11.2
1.  एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 7cm, ∠B= 75° और AB+AC =13 cm हो।
हल : रचना के पद:
1. एक किरण BX खींचिए। इसमें से एक
रेखाखण्ड BC = 7 सेमी. काटिए।
2. ∠XBY = 75° बनाइए।
3. BY से BD = 13 cm काटिए ।
4. CD को मिलाइए।
5. CD को विभाजित करते हुए एक लंब खींचिए
जो BD को A पर काटे।
6. AC को मिलाइए।
इस प्रकार प्राप्त ∆ अभीष्ट त्रिभुज है।
2. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC=8 cm, ∠B = 45° तथा AB-AC
= 3.5 cm हो।
हल : रचना के पद:
1. एक किरण BX खींचिए और इसमें से
एक रेखाखंड BC = 8 cm काटिए ।
2. ∠YBC = 45° बनाइए।
3. BY से BD = 2.5 cm का रेखाखंड
काटिए।
4. CD को मिलाइए।
5. द्विभाजक RS पर CD लंब खींचिए जो
BY को A बिंदु पर काटता है।
6. AC को मिलाइए।
इस प्रकार, ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
3. एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए, जिसमें QR= 6 cm, ∠Q = 60° तथा PR-PQ
=2 cm हो।
हल : रचना के पद :
1.एक किरण Qx खींचिए जिसमें से एक रेखाखंड ।
QR =6cm काटिए।
2.60° का कोण बनाते हुए QR के साथ किरण
QY खींचिए और YQ को YQY, तक आगे
बढ़ाइए।
3.QY से एक रेखाखंड QS = 2 cm काटिए ।
4. RS को मिलाइए।
5. RS पर लंब खींचिए जो SY को P बिंदु पर
काटे।
6. PR को मिलाइए।
इस प्रकार, PQR एक अभीष्ट त्रिभुज है।
4.  एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसमें ∠Y = 30°,∠Z= 90° तथा XY+YZ
+ZX=11cm हो।
हल : रचना के पद:
1. रेखाखंड PQ = 11 cm खींचिए।
2.P पर एक किरण, PLखींचिए जिससे
कि ∠LPQ = 1/2×30°=15°
3.Q पर, किरण QM खींचिए जिससे
कि∠MQP = 1/2×90° = 45°, PLको
x पर काटे।
4.XP और XQ द्विभाजकों पर लंब खींचिए, जो PQ को क्रमशः Y और Z पर काटे ।
इस प्रकार, ∆XYZ वांछित त्रिभुज है।
नोट : चित्र में सुस्पष्टता के लिए, 15° और 45° के कोणों को बनाने की विधि दर्शाई गई है।
विद्यार्थी इन कोणों की रचना पहले बताई गई विधि से, केवल पैमाने और परकार की
सहायता से करें।
5. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका आधार 12 cm और कर्ण तथा अन्य
भुजा का योग 18 cm है।
हल : रचना के पद:
1. एक किरण Bx खींचिए और इसमें से एक
रेखाखंड BC = 12 cm खींचिए।
2. ∠XBY-90° बनाइए।
3. इससे BD = 18 cm का एक रेखाखंड काटिए ।
4. CD को मिलाइए।
5. CD को द्विभाजित करते हुए एक लंब खींचिए जो
BD को A बिंदु पर काटे।
6. AC को मिलाइए। इस प्रकार, ABC अभीष्ट
त्रिभुज है।
                                                ◆◆◆

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