BIHAR BOARD CLASS 8TH MATH | घातांक और घात
BIHAR BOARD CLASS 8TH MATH | घातांक और घात
किसी संख्या को बार-बार उसी संख्या से गुणा करने पर गुणनफल को सूक्ष्म रूप से घातांक
कहते हैं।
जैसे― 10×10×10 = 10³
1/10 = 10-¹
घातांक के नियम :
(i)
जहाँ a शून्येतर परिमेय संख्या है तथा m और n पूर्ण संख्या है।
जैसे― 2–⁵ × 2–³ = 2–⁵ + (–3) = 2–⁵–³ = 2–⁸
(ii)
जैसे— 8-² =(2×2×2)-²
= (2³)² = 2³ ×(–2) = 2-⁶
(iii)
जैसे—(–2)³ × (4)–³ × (–5)–³ = (–2×4×(–5)–³ = (40)–³ = 1/40³
प्रश्नावली-10.1
1. मान ज्ञात कीजिए-
(i) 2–³ (ii) 4–³ (iii) (–3)–⁴ (iv) (–2)–³
उत्तर—(i) 2–³ =–8 = 1/8
(ii) 4–³ =–64 =1/64
(iii) (–3)–⁴ =–3×(–3)×(–3)×(–3 ) = 81
(iv) (–2)–³ =–8 = 1/8
2. मान ज्ञात कीजिए–
(i) (1/2)-⁵ (ii) (4/3)-³ (iii) (–2/3)–⁵ (iv) (4/5)–²
उत्तर–(i) (1/2)–⁵ = (–2)–⁵
= (–2×(–2)×(–2)×(–2)×(–2)–⁵ = (+132)
(ii) (4/3)–³ = (1/4/1/3)–³ = (3/4)–³
= 3×3×(–3)/–4×(–4)×(–4)
= +27/+64 = 27/64
(iii) (–2/3)⁵ = –2×(–2)×(–2)×(–2)×(–2)/+3×(+3)
= –32/+243 = 243/32
(iv) (1/5)–² = 5×5= 25
3. मान ज्ञात कीजिए-
(i) (5/3)² × (5/3)² (ii) (5/6)⁶ × (5/6)–⁴
(iii) (2/3)–³× (2/3)–³ (iv) (9/8)–³ × (9/8)
उत्तर–(i) (5/3)² × (5/3)² = (5/3)²+² ph-3
= (5/3)⁴ = 625/81
(ii) (5/6)⁶ × (5/6)–⁴ = (5/6)⁶+(–⁴)
= (5/6)² = 25/36
(iii) (2/3)–³ × (2/3)–² = (2/3)–³+(–²)
= (2/3)–³–³ = (2/3)–⁵
= 32/243 = 243/32
(iv) (9/8)–³ × (9/8)² = (9/8)–³+²
= (9/8)–¹ = 1/9×8/1 = 8/9
4. सरल कीजिए—
(i) (5/9)–² × (3/5)–³ × (3/5)⁰
(ii) (–3/5)–⁴ × (–2/5)²
(iii) (–2/3)–³ × (–2/3)–²
उत्तर—(i) (5/9)–² × (3/5)–³ × (3/5)³ = (9/5)² × (5/3)³ × 3/5
= 81/25 × 125/27 × 3/5 =9
(ii) (–3/5)–⁴ × (–2/5)² = 5×5×5×5/–3×(–3)×(–3)×(–3)
× (–2)×(–2)/5×5
= 100/81
(iii) (–2/3)–³ × (–2/3)–² = 3×3×3/–2×(–2)×(–2)×
3×3/–2×(–2)
= 243/–32
5. मान ज्ञात कीजिए—
(i) {(–2/3)²}² (ii) [{(–1/3)²}–²]–¹ (iii) {(3/2)–²}²
उत्तर—(i) {(–2/3)–²}² = (–2/3)–²×² = (–2/3)–⁴
= (3/2)⁴ = 81/16
(ii) [{(–1/3)²}–²]–¹ = (–1/3)²×(–²)×(–1)
= (–1/3)⁴ = 1/81
(iii) {(3/2)–²}² = (3/2)–²×² = (3/2)–⁴ = (2/3)⁴ = 16/81
6. सरल कीजिए और उत्तर को घनात्मक घातांक के रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) (–3)⁵ ÷ (–3)⁹ (ii) (1/3³)²
(iii) (–3)⁴×(5/3)⁴ (iv) (3–⁷÷3–¹⁰)×3–⁵
(v) 2–³× (7)–³
उत्तर—(i) (–3)⁵ = (–3)⁹ = (–3)⁵–⁹
=(–3)–⁴ = 1/(–3)⁴
(ii) (1/3³)² = 1/3³×² = 1/3⁶
(iii) (–3)⁴×(5/3)⁴ = (–3)×5⁴/3 = 5⁴
(iv) (3–⁷÷3–¹⁰)×3–⁵ = 3–⁷–(–¹⁰)×3–⁵
= 3–⁷+¹⁰×3–⁵
= 3+³×3–⁵=3–³+(–⁵)
= 3+(–⁵)=3–²=1/3²
(v) 2–³×7–³=(2×7)–³=14–³=1/14³
7. (1/3)–² + (1/2)–² + (1/4)–² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर– (1/3)–² + (1/2)–² + (1/4)–² = (1/3+1/2+1/4)–²
= 4+6+3/12 = (13/12)–²
= (12/13)² = 144/169
8. (i) (5–¹+3–¹+2–¹) (ii) (4⁰ + 8–¹) ×2³ (iii) (2–¹×4–¹)÷2–³
उत्तर—(i) (5–¹+3–¹+ 2–¹)⁰ = {(5 +3 + 2)–¹}⁰
= {(10)–¹}⁰
= 10–¹×0 = 10⁰ =1
(ii) (4⁰ + 8–¹) × 2³ = (4⁰ + 8–¹) ×2³
= 1+ (–8)×2³
=1–8×8=–7×8=–56
(iii) (2–¹×4–¹)÷2–³ = (2×4)–¹+ (–1) ÷ 2–³
= (8)–¹÷2–³
= 8–¹÷2–³
= 8–¹÷(–8)
9. मान ज्ञात कीजिए–
(i) (5–¹×2–¹)÷6¹ (ii) 16–¹×5³/2–⁴
उत्तर– (i) (5–¹×2)–¹÷ 6–¹ = (5 × 2)–¹÷6–¹
= (10)–¹ ÷ 6–¹ =–10/–6 = 5/ 3
(ii) 16–¹×5³/2–⁴ = 16×(–5)×(–5×(–5)/–2×(–2)×(–2)×
= 125
10. x का मान ज्ञात कीजिए जब—
(i)
(ii)
(iii)
उत्तर—(i)
(ii)
(iii)
11. सरल कीजिए-
(i) {(1/3)–¹ –(1/4)–¹}–¹ (ii) 3–⁵×10–⁵×125/5–⁷×6–⁵
उत्तर—(i) {(1/3)–¹ –(1/4)–¹}–¹ = (3–4)–¹ = (–1) = –1
(ii) 5⁵×10–⁵×125/5–⁷×6–⁵ = 5⁵×10–⁵×5³/5–⁷×6–⁵
= 5⁵×5²×⁵×5³/5–⁷×6–⁵
= 5(⁵–¹⁰+³)/5–⁷×6–⁵
= 5–²/5–⁷×6–⁵ = 5–²+⁷/6–⁵
= 5–⁵/6–⁵
12. सरल कीजिए—
25×t–⁴/5–³×5×t–⁸ (t≠0)
उत्तर— 25×t–⁴/5³×5×t–8 = 5³×t–⁴/5³×5×t–⁸ (t≠0)
= t–⁴/5t–⁸
= 5t–⁴ –(–⁸)
= 5t–⁴+⁸ = (5t)⁴
दशमलव संख्या पद्धति (मानक रूप)
जब किसी संख्या को 1.0 एवं 9.9 या इसके बीच की एक दशमलव संख्या और 10 की
घात के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है तो संख्या के इस रूप को मानक रूप
(standard form) कहते हैं।
जैसे— 150,000,000,000 = 1.5 x 10¹¹
2430000 = 2.43 x 10⁶
प्रश्नावली-10.2
1. निम्न संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए—
(i) 0.000000004
(ii) 0.00000000032
(iii) 0.000000000397
(iv) 7760000000
(v) 806000000000
(vi) 4603500000
उत्तर-(i) 0.000000004 = 4 × 10-⁹
(ii) 0.00000000032 = 3.2 × 10-¹⁰
(iii) 0.000000000397 = 3.97/10¹¹
= 3.97×10¹¹=3.97×10¹¹
(iv) 776000000000 = 7.76/10¹¹
= 7.76×10¹¹
(v) 806000000000 = 8.06/10¹¹
= 8.06 × 10¹¹
(vi) 4603500000 = 4.6035/10⁹
= 4.6035 × 10⁹
2. निम्न संख्याओं को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए-
(i) 7.1×10–⁷ (ii) 3.02×10–⁵ (iii) 5×10–⁹
(iv) 1×10⁹ (v) 2.0001 × 10¹⁰ (vi) 3.46129×10⁶
उत्तर-(i) 7.1 × 10–⁷ = 7.1/10–⁷
= 0.00000071
(ii) 3.02 × 10–⁵ = 3.02/10–⁵
= 0.0000302
(iii) 5×10–⁹ = 5/10–⁹
= 0.000000005
(iv) 1×10⁹ = 1/10⁹
= 1000000000
(v) 2.0001 × 10¹⁰ = 2.0001/10¹⁰
= 20001000000
(vi) 3.46129 ×10⁶ = 3.46129/10⁶
= 3461290
3. निम्न कथनों की संख्याओं को मानक रूप में बदलकर कथन लिखिए-
(i) मनुष्य के बाल की मोटाई का व्यास लगभग 0.0002 cm. होती है।
(ii) पौधों की कोशिकाओं की माप 0.00001275 m है।
(iii) जीवाणु की माप 0.0000005 m है।
(iv) एक इलेक्ट्रॉन का आवेश 0.000.0000.00.000.000.000.16 कुलंब होता है।
(v) माईक्रॉन 1/1000000 मी. के बराबर होता है।
उत्तर-(i)2×10–³ (ii) 1.275 ×10–⁵ (iii)5 ×10–⁷
(iv) 1.6 × 10–¹⁹ (v) 1×10–⁶
4. एक के ऊपर एक करके दस शीशे रखे गए हैं, जिनमें प्रत्येक की मोटाई 10 mm तथा
प्रत्येक दो शीशों के बीच कागज की एक शीट है, जिनमें प्रत्येक की मोटाई 0.07 mm
है। इसकी कुल मोटाई को मानक रूप में लिखिए।
उत्तर— शीशे = 10
कागज की शीट= 9
.: एक शीशे की मोटाई = 10 mm
9 कागज की शीट की मोटाई =9× 0.07 = 0.0063
कुल मोटाई = 1.0063 × 10²
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