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BIHAR BOARD CLASS 8TH MATH | एक चर वाले रैखिक समीकरण

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BIHAR BOARD CLASS 8TH MATH | एक चर वाले रैखिक समीकरण

                                    एक चर वाले रैखिक समीकरण
रैखिक समीकरण—चर एवं अचर व्यंजकों को मिलाकर बनाए गए समीकरण को रैखिक
समीकरण कहते हैं।
जैसे― किसी संख्या का 4 गुणा 40 है।
अर्थात्  x×4=40
उदाहरण के तौर पर―
x + x/4 = 20
   4x+x = 20×4
        5x= 80
          x = 80/5
           x= 16 उत्तर
                                      प्रश्नावली-2.1
1. 3(x–3) = 15
उत्तर―3(x–3)= 15
             3x–9= 15
                3x= 15+9
                3x= 24
                  x= 24/3
                  x=8
2.   x/2–7=15
उत्तर― x/2–7 = 15
        x–14/2 = 15
x–14 = 15×2= 30
            x–14 = 30
            x= 30 + 14
           x = 44
3.  –2x/7+2 = 8
उत्तर– –2x+14/7 = 8
 –2x + 14 = 8 x 7 = 56
– 2x + 14 = 56
–2x = 56 – 14
–2x = 42
–x = 42/2
    x= –21
4.  7– 3x = 18
उत्तर― 7 –3x = 18
            –3x = 18–7
             –3x = 11
                  x = 1/3
                  x = –11/3
5. 18 = 40 – 3x
उत्तर― 18–40 = –3x
               –22 = –3x
                –22/3 = x
6.  25/6–9y = 11
उत्तर― –9y = 11–25/6
        = –9y = 66–25/6
          –9y = 61/6–41/6
               y = 51/6×1/–9
               y = –41/54
7.   2.4 = x/2.5 –1
उत्तर–2.4 = x–2.5/2.5
         2.4×2.5 = x-2.5
                    6 = x-2.5
            6+2.5 =x
                     x=8.5
8. 3x+10–x=0
उत्तर―3x+10–x=0
                3x–x=+0
                     2x=–10
                       x= –10/2
                       x=–5
9.  2(x+11/4) = 13
उत्तर– 2(4x+11/4) =13
               2(4x+11)= 13×4
                 8x + 22 = 52
                      8x=52-22
                      8x= 30
                        x= 30/8=15/4
                        x= 15/4
10.   x/3+(–14/3) = 3/7
उत्तर– x/3+(–14/3) = 3/7
          x/3 = 3/7+14/3
           x/3 = 9+98/21
            x/3 = 107/21
                x = 107/21×3
                x = 107/7
अनुप्रयोग― हम दैनिक जीवन में भी इन समीकरणों का प्रयोग कर सकते हैं।
जैसे—दो संख्याओं का योग 15 है। यदि एक संख्या दूसरी से 5 अधिक है तो दोनों संख्याएँ
ज्ञात कीजिए।
उत्तर―माना कि अज्ञात संख्या =x
माना कि पहली सं०=x
तो दूसरी सं० उससे 5 अधिक है =x+5
पुनः प्रश्नानुसार,
                     x+ (x+5) = 15
⇨                     2x + 5 = 15
                                2x = 15–5
                                2x =10
                                  x= 10/2
                                   x = 5
उदाहरण 2. आयत की लं० और चौ० का अनुपात 3:2 है और उसकी परिमिति 30 मी०
हो, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल : माना आयत की लं० =3x तथा चौ० = 2x
आयत की परिमिति = 2 (लं०+ चौ०)
प्रश्नानुसार,
        2(3x + 2x) = 30
                2 (5x) = 30
                      5x = 30/2
                        x = 30/2×1/5
                        x = 15/5
                        x = 3 m.
          लम्बाई =2x=2x3m = 6 मी०
       चौड़ाई = 3x = 3x3m = 9 मी० ।
                                      प्रश्नावली-2.2
1. यदि किसी संख्या के आधे में से 1/4 घटाया जाय तो 1/8 प्राप्त होता है।
संख्या ज्ञात करें।
उत्तर― माना कि सं० =x
तो प्रश्नानुसार
                  x/2–1/4 = 1/8
⇨               2x–1/4 = 1/8
                   2x–1 = 1/8×4
                   2x–1 = 1/2
                   2x = 1/2
                     x 1/2×1/2
                     x = 1/4
                                            प्रश्नावली-2.2
1. यदि किसी संख्या के आधे में से 1/4 घटाया जाए तो 1/8 प्राप्त होता है। संख्या
ज्ञात कीजिए।
उत्तर― माना कि सं० =x
तो प्रश्नानुसार,
             x/2–1/4 = 1/8
⇨           2x–1/4 = 1/8
⇨               2x–1 = 1/8×4
                   2x–1 = 1/2
                        2x = 1/2
                           x = 1/2×1/2
                           x = 1/4
2. यदि किसी आयत की लम्बाई और चौड़ाई का अंतर 5 मी. हो और परिमिति 110
मी. हो तो लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात करें।
उत्तर―माना कि आयत की लम्बाई =x
                      आयत की चौड़ाई =y
प्रश्न से, (x–y) 5                                        … (1)
आयत की परिमिति = (x+y) = 110
x+y= 110/2 = 55                                   … (2)
अब, (i) तथा (ii) से,
           x+y= 55
        +x–y=5
             2x= 60
               x=30
(i) से,           x+y =55
                  3x+y =55
                         y = 55–30 = 25
.:            आयत की लम्बाई =x= 30 m.
               आयत की चौड़ाई =y= 25 cm.
3. चीनी के मूल्य में 25 प्रतिशत की वृद्धि होने पर अब 1 किग्रा. चीनी का मूल्य 32
रु. है तो प्रारम्भ में चीनी का मूल्य प्रति किग्रा. क्या था ?
उत्तर–चीनी का वर्तमान मू. = 32
माना की पहले चीनी का मूल्य = 100
.: वर्तमान मू. = 32×100/125 = 3200/125 = 25.60
4. दो विभिन्न मूल्यवाली 35 कलमों का कुल मूल्य 60 रु. है। यदि 1 सस्ती कलम का
मूल्य 1.50 रु. एवं 1 महँगी कलम का मूल्य 2 रु. है तो कितनी महंगी कलमें खरीदी गई?
उत्तर-माना कि महंगी कलमों की सं० =x
तो सस्ती कलम का मू. = 60–2x
प्रश्नानुसार,
              1.5 (60–20) + 2x = 60
or,                    90–3x+ 2x = 60
or,         –x= 60–90
             –x=–30
                x=30
.:    महँगी कलमों की सं० = 30/2 =15
      तथा सस्ती कलमों की सं० = 300/165 =20
5. एक त्रिभुज के तीनों कोण 2:3:5 के अनुपात में है तो उनके तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर–त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°
प्रश्नानुसार,
              2x+3x+5x=180
                         10x= 180
                              x = 180/10
                               x=18
त्रिभुज का प्रथम कोण =2x= 18°×2=36°
त्रिभुज का दूसरा कोण = 3x= 18×3 = 54°
त्रिभुज का तीसरा कोण =5x= 18×5=90°
6. बिल्लू के पास 1 रु एवं 5 रु के कुल 160 सिक्के हैं जिनका कुल मूल्य 310 रु.
है। यदि 2 रु. के सिक्कों की संख्या 5 रु. के सिक्कों की संख्या की तिगुनी हो तथा
1 रु. के सिक्कों की संख्या =40 है तो उसके पास प्रत्येक प्रकार के कितने सिक्के हैं?
उत्तर–माना कि एक रु. के सिक्कों की सं० = 40
5 रु. के सिक्कों की सं० =x
2 रु. के सिक्कों की संख्या =3x
तो प्रश्न से,
          40+x+3x = 160
             40+ 4x = 160
                     4x = 160–40 = 120
                       x = 120/4 = 30
तो  5 रु. के सिक्कों की सं० =x= 30
     2 रु. के सिक्कों की सं. =3x= 90
  1 रु. के सिक्कों की सं० = 40 = 10
                                                 ——
               कुल सिक्कों की सं० = 160
कुल मु० = 30×5= 150
                90×3 = 120
                40×1 = 40
                        ——-
                          310
7. पिता ने अपने तीन संतानों के बीच अपनी संपत्ति का बँटवारा 1:2:3 के अनुपात
में करता है और अपने लिए 100000 रु. रखता है। यदि उसकी कुल संपत्ति 2.5
लाख रु. की हो तो प्रत्येक संतान को हिस्से के रूप में क्या मिला?
उत्तर–पिता की कुल संपत्ति = 2.5 लाख
पिता अपने लिए 1 लाख रु. रखता है।
पिता ने अपने बच्चों में बाँटने लिए रखे 2.5–1.0 = 1.5
अब प्रश्नानुसार,
x+2x = 3x = 1.5 लाख
     6x = 1500000
        x = 1500000/6 = 50000/2 = 25000
पिता ने अपनी प्रथम संतान को दिए
       x = 25000/-
पिता ने अपनी द्वितीय संतान को दिए 2x = 25000 = 50000/-
पिता ने अपनी द्वितीय संतान को दिए 2x = 2×25000 = 50000
पिता ने अपने तृतीय संतान को दिए = 3x = 25000×3 = 75000
8. 11 के लगातार तीन गुणजों का योग 231 है तो उन्हें ज्ञात जिए।
उत्तर–माना कि 11 का पहला गुणज =x
द्वितीय गुणज =x+1
तृतीय गुणज =x+2
प्रश्नानुसार,
           11×x+11(x+ 1)+11(x+2) = 231
            11x+11x+11+11x+22 = 231
or,                               33x +33 =231
or,                               33x = 231–33
or,                               33x = 198
or,                                    x = 198/33
or,                                     x = 6
.:   पहला गुणज = 11x= 11×6= 66
द्वितीय गुणज = 11 (x + 1)= 11 (6+ 1) = 11×7=77
तृतीय गुणज = 11 (x+2)= 11(6+2)= 11×8 = 88
9. संकुल संसाधन केन्द्र म.वि. फरना में आयोजित बाल मेले में प्रत्येक विजेता छात्र के
2 कलम एवं विजेता को छोड़कर शेष सभी प्रतिभागियों को 1 कलम दिया गया।
यदि 100 छात्रों के बीच 120 कलम दिये गये तो विजेताओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर–विजेताओं को दिए गए कलमों की सं० = 2x
दूसरे विद्यार्थियों को दिए गए कलमों की सं० = x
          2x+x = 120
              3x = 120
                x = 120/3 = 40
                x = 40
.:  विजेताओं की सं० = 2x = 40
  x = 40/2 = 20
10. रवि के पिता का वर्तमान उम्र रवि के वर्तमान उम्र के तिगुने से 5 वर्ष अधिक है।
5 वर्ष बाद उनके उम्रों का योग 47 वर्ष होगा। दोनों की वर्तमान उम्र ज्ञात कीजिए।
उत्तर–माना कि रवि की उम्र =x
                    पिता की उम्र =3x+5
प्रश्न से,
        x+5+3x+5+5=47
                4x + 15 = 47
           4x =47–15 = 32
              x= 32/4
              x=8
रवि की उम्र =8
पिता की वर्तमान उम्र = 3x+5=3×8+5
                             = 24 +5 = 29
समीकरण हल करना जब दोनों ही पक्षों में चर उपस्थित है–
जब दोनों पक्षों में चर उपस्थित हो तो चर को एक पक्ष में करने के लिए उसका पक्षांतरण
किया जाता है तथा इसके पश्चात् उसे हल किया जाता है।
उदाहरण– 5x–7/2 = 14–3/2x
or,            5x +3/2x = 14 +7/2
or,          10x+3x/2 = 28 +7/2
or,              10x+3x =35
                         13x =35
                              x = 35/13 = 2(9)/13
                                         प्रश्नावली-2.3
निम्नलिखित समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए-
1. 7–6x/9x = 1/15
उत्तर– 7–6x/9x = 1/15
or,     15 (7–6x) = 9x
or,       105–90x =9x
           105 = 9x=90x
           105 = 99x
            105/99 = x
                      x = 35/33
2.  z/4 = z+15/9
उत्तर– z/4 = z+15/9
or,        9z = 4 (z + 15)
            9z = 42 + 60
     9z – 4z = 60
            5z = 60
              z =60/5 = 12
               z = 12
3.   x²–(x – 2)² = 32
उत्तर-  x²(x²–4x +4)= 32
         x²–x²+4x–4 = 32
or,                 4x–4 =32
or                       4x = 32 +4
                           4x =36
                             x =36/4
                             x =9
4.   (x + 4)²–(x – 5)² = 9
उत्तर–(x+ 4)² – (x – 5)² = 9
or, x²+8x + 16–(x²–10x + 25) = 9
or, x² + 8x + 16–x²+ 10x –25 = 9
                                       18x–9 = 9
                                            18x = 9+9
                                            18x = 18
                                                 x = 18/18=1
5. (y + 3) (y – 3)– y (y + 5) = 6
उत्तर–(y + 3) (y –3) – y(y+5)=6
y² –6y + 9 – y² – 5y = 6
                         –11y = 6-9
                         –11y =–3
                                y = 3/11
6.  5x–4/6 = 4x+1–3x+10/2
उत्तर– 5x–4/6 = 4x+1–3x+10/2
 or,    5x–4/6+3x+10/2=4x+1
 or,      2(5x–4)+3(3x–10)/6 = 4x+1
 or,       5x – 4 + 9x + 30 = 6 (4x + 1)
 or,                    14x + 26 = 24x + 6
                         14x–24x = 6–26
                                –10x = –20
                                        x = –20/–10 = 2
7.  4y+1/3+ 2y-1/2– 3y–7/5 = 47/10
उत्तर– 4y+1/3+2y-1/2– 3y–7/5= 47/10
or,    (4y + 1) + (2y –1)–(3y–7)/50 = 47/10
or,   10(4y +1)+15(2y–1)–6(3y–1)/30 = 47/10
or,   40 y + 10 + 3y – 15–18y–42/30 = 47/10
or,   40y + 30y–18y+10–42–15 = 47/10×30
or,   52y + 37 = 141
or,   52y =141–37
       52y = 104
           y = 104/52 = 2
8.  0.3+0.7x/x = 0.95
उत्तर– 0.3+0.7x/x = 0.95
or,.        0.3+0.7x = 0.95×x
or,                  0.3 =0.95x–0.7x
or,                  0.3 = 0.25x
or,                     x = 0.30/0.25
or,                      x = 1.2
9.  15(2–x)–5(x + 6)/1–3x = 6
उत्तर– 15(2–x)–5(x+6)/1–3x = 6
or, 15 (2–x)–5x+ b = 6(1–3x)
or,  30 –15x – 5x –30 = 6 –18x
or,                        –20x = 6–18x
or,              –20x+ 18x = 6
                              –2x = 6
                                   x = 6/–2 =–3
10. दो अंकों की संख्या का दहाई अंक, इकाई अंक का तिगुना है । यदि अंक बदल दिये
जाएँ तो प्राप्त संख्या मूल संख्या से 36 कम हो जाती है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर–माना कि इकाई का अंक = x
.:                    दहाई का अंक = 10×3x
अंक बदल दिए जाने पर इकाई का अंक = 3x
दहाई का अंक = x
प्रश्नानुसार,
              3x×10+ x = 10×x+3x+36
                   30x+x = 10x+3x+36
                       31x = 13x+36
              31x–13x = 36
                       18x = 36
                            x = 36/18
                            x = 2
इकाई का अंक x=2
दहाई का अंक = 3x=3×2 =6
इसलिए अंक = 10×3x+x= 108b+2 = 60+2 = 62
11. एक नाव धारा की दिशा में एक घाट से दूसरे घाट तक जाने में 9 घंटे लगाती है।
धारा की विपरीत दिशा में यही दूरी 10 घंटे में पूरा करती है। यदि धारा की चाल
1 किमी./प्रति घंटा हो तो शांत जल में नाव की चाल एवं दोनों घाटों के बीच
की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर–धारा की दिशा में नाव की चाल = 9 km/h (u)
         धारा की विपरीत दिशा में चाल = 10 km/h (v)
.:       शांत जल में नाव की चाल = (u+v) km/h
                   = (10+9) km/h = 19 km/h
दोनों घाटों के बीच की दूरी =2×v×u=2×10×9
                                    = 20×9= 180km.
                                                ◆◆◆

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