bihar board class 10th maths | Coordinate Geometry

Bihar Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 Coordinate Geometry

प्रश्नावली 7.1

प्रश्न 1. बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए:
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (-5, 7), (-1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b)
हल:
(i) दिए हुए बिन्दु (2, 3) व (4, 1)
यहाँ x₁ = 2, y₁ = 3, x₂ = 4, y₂ = 1
बिन्दुओं (2, 3) व (4, 1) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 2√2 मात्रक

(ii) दिए हुए बिन्दु (-5, 7) व (-1, 3)
यहाँ x₁ = -5, y₁ = 7, x₂ = -1, y₂ = 3
बिन्दुओं (-5, 7) व (-1, 3) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 4√2 मात्रक

(iii) दिए हुए बिन्दु (a, b) व (-a, -b)
यहाँ x₁ = a, y₁ = b, x₂ = -a, y₂ = -b
बिन्दुओं (a, b) और (-a, -b) के बीच की दूरी

प्रश्न 2. बिन्दुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A व B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
हल:
दिए हुए बिन्दु (0, 0) व (36, 15)
यहाँ x₁ = 0, y₁ = 0, x₂ = 36, y₂ = 15
बिन्दुओं (0, 0) व (36, 15) के बीच की दूरी

अनुच्छेद 7.2 में दिए गए शहरों के, कार्तीय निर्देशांक पद्धति के सापेक्ष निर्देशांक A = (0, 0) तथा B = (36, 15)
शहरों के बीच की दूरी

प्रश्न 3. निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु (1, 5) (2, 3) और (-2, -11) संरेखी हैं?
हल:
माना दिए हुए बिन्दु P = (1, 5), Q = (2, 3) तथा R = (-2, -11) हैं।
यहाँ x₁ = 1, y₁ = 5, x₂ = 2, y₂ = 3, x₃ = -2, y₃ = -11

PQ + QR = 2.23 + 14.56 = 16.79 ≠ RP
अतः दिए गए बिन्दु संरेख नहीं हैं।

प्रश्न 4. जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल:
माना दिए हुए बिन्दु P = (5, -2), Q = (6, 4) और R = (7, -2) हैं, जो ΔPQR के शीर्ष हैं :
यहाँ x₁ = 5, y₁ = -2, x₂ = 6, y₂ = 4, x₃ = 7, y₃ = -2

ΔPQR में, PQ = QR
⇒ ΔPQR समद्विबाहु है।
अतः दिए गए बिन्दु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 5. किसी कक्षा में, चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। चम्पा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चम्पा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?’ चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है?
हल: दी गई आकृति से बिन्दुओं A, B, C व D के निर्देशांक क्रमशः (3, 4), (6, 7), (9, 4), (6, 1) हैं।

∵ चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ AB, BC, CD, DA परस्पर बराबर हैं और चतुर्भुज के विकर्ण AC व BD भी बराबर हैं।
अत: चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। चम्पा सही है।

प्रश्न 6. निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए-
(i) (-1, -2), (1, 0),(-1, 2),(-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3),(-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
हल:
(i) माना P = (-1, -2), Q = (1, 0), R = (-1, 2), S = (-3, 0)

∵ PQ² + QR² = (2√2)² + (2√2)² = 8 + 8 = 16 = PR²
∴ ∠Q समकोण है और चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हैं।
अत: उक्त बिन्दुओं से बनने वाला चतुर्भुज एक वर्ग है।

प्रश्न 7. X-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।
हल: माना X-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक (h, 0) हैं (क्योंकि x-अक्ष के लिए y-निर्देशांक शून्य होता है)।

प्रश्न 8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P(2, -3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल: दिए हुए बिन्दु P = (2, -3) और Q = (10, 1)

परन्तु प्रश्न में दिया है कि दोनों बिन्दुओं के बीच की दूरी (PQ) = 10 मात्रक

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
8² + (y + 3)² = 10²
⇒ (y + 3)² = 10² – 8² = 100 – 64
⇒ (y + 3)² = 36
⇒ (y + 3)² = ±6
यदि y + 3 = +6 तो y = +6 – 3 = 3
और यदि y + 3 = -6 तो y = – 6 – 3 = -9
अतः y के अभीष्ट मान = 3, -9

प्रश्न 9. यदि Q(0, 1) बिन्दुओं P(6, -3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।
हल:
Q = (0, 1), P = (5, -3) और R = (x, 6)
बिन्दु Q(0, 1) बिदुओं (5, -3) व R(x, 6) से समदूरस्थ है।
अर्थात् PQ = QR

प्रश्न 10. x और y में एक ऐसा सम्बन्ध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x, y)बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4)से समदूरस्थ हो।
हल:
माना बिन्दु P = (x, y), Q = (3, 6) तथा R = (-3, 4)
बिन्दु P(x, y) बिन्दुओं Q (3, 6) व R(-3, 4) से समदूरस्थ है।
अर्थात् PQ = PR

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(x – 3)² + (y – 6)² = [x – (-3)]² + (y – 4)²
⇒ x² – 6x + 9 + y² – 12y + 36 = (x + 3)² + (y – 4)²
⇒ x² + y² – 6x – 12y + 45 = x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16
⇒ x² + y² – 6x – 12y + 45 = x² + y² + 6x – 8y + 25
⇒ -6x – 12 y = 6x – 8 y + 25 – 45
⇒ -6x – 12y – 6x + 8y = -20
⇒ -12x – 4y = -20
⇒ 3x + y = 5 [∵ (-4) से दोनों पक्षों में भाग देने पर]
अत: अभीष्ट सम्बन्ध : 3x + y = 5

प्रश्नावली 7.2

प्रश्न 1. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल:
दिए गए बिन्दु (-1, 7) और (4, -3)
यहाँ x₁ = -1, y₁ = 7, x₂ = 4, y₂ = -3
तथा m₁ : m₂ = 2 : 3
माना विभाजक बिन्दु P(x, y) है।

अत: अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक = (1, 3)

प्रश्न 2. बिन्दुओं (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A = (4, -1) तथा B = (-2, -3) दिए गए बिन्दु हैं।
माना बिन्दु P (x, y) तथा Q (x’, y’) AB को समत्रिभाजित करते हैं।
तब, AP : PB = 1 : 2 और AQ : QB = 2 : 1,
यहाँ x₁ = 4, y₁ = -1, x₂ = -2, y₂ = -3
तथा m₁ : m₂ = 1 : 2
तब, बिन्दु P के लिए :

प्रश्न 3. आपके स्कूल में खेल -कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चुने से परस्पर 1m की दुरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं | AD के अनुदिश परस्पर 1m की दुरी पर 100 गमले रखे हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है| निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है |प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के भाग के बराबर की दूरी दौडती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड देती है दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी ( बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?

हल:
भुजा AD पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं।
AD = 100 m

प्रश्न 4. बिन्दुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।
हल: माना बिन्दुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-1, 6), m₁ : m₂ में विभक्त करता है, तब

दोनों ही निर्देशांकों से, m₁ : m₂ = 2 : 7
अत: अभीष्ट अनुपात = 2 : 7

प्रश्न 5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(1, -5) और B(-4, 5) को मिलाने वाला रेखाखण्ड X-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए हुए बिन्दु A = (1, -5) और B = (-4, 5)
यहाँ x₁ = 1, y₁ = -5, x₂ = -4, y₂ = 5
माना रेखाखण्ड AB का X-अक्ष से अनुपात m₁ : m₂ में विभाजित होता है।
X-अक्ष के लिए y = 0 होता है।
विभाजक बिन्दु (x, 0) होगा जिसके लिए

प्रश्न 6. यदि बिन्दु (1, 2), (4, 3), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर, एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिनमें A = (1, 2), B = (4, y), C = (x, 6) तथा D = (3, 5)
इसके विकर्ण AC तथा BD परस्पर समद्विभाजित करेंगे।
AC का मध्य-बिन्दु = बिन्दुओं (1, 2) तथा (x, 6) का मध्य-बिन्दु

BD का मध्य-बिन्दु = बिन्दुओं (4, 3) तथा (3, 5) का मध्य-बिन्दु

∵ AC और BD परस्पर समद्विभाजित करते हैं
∵ AC का मध्य-बिन्दु वही होगा जो BD का है।

प्रश्न 7. बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2, -3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।

हल:
केन्द्र के निर्देशांक = (2, -3)
तथा बिन्दु B के निर्देशांक = (1, 4)
माना बिन्दु A के निर्देशांक (x₁, y₁) हैं।
x₁ = 2, y₁ = -3, x₂ = 1, y₂ = 4
माना केन्द्र O के निर्देशांक (x, y) = (2, -3) व्यास AB के मध्य-बिन्दु पर है।

⇒ x₁ + 1 = 4 तथा y₁ + 4 = -6
⇒ x₁ = 4 – 1 = 3 तथा y₁ = – 6 – 4 = -10
अत: बिन्दु A के निर्देशांक = (3, -10)

प्रश्न 8. यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हों तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = 3/7 AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित हो।
हल:
दिया है, A = (-2, -2), और B = (2, -4)
यहाँ x₁ = – 2, y₁ = -2, x₂ = 2, y₂ = -4
AP = 3/7 AB
⇒ AP = 3/7 (AP + PB)
⇒ 7AP = 3AP + 3PB
⇒ 4AP = 3PB
⇒ AP : PB = 3 : 4
⇒ m₁ : m₂ = 3 : 4
यदि P के निर्देशांक (x, y) हो तो

प्रश्न 9. बिन्दुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु A = (-2, 2) और B = (2, 8)
तब, रेखाखण्ड AB को दो बराबर भागों में बाँटने वाले बिन्दु Q के निर्देशांक = बिन्दुओं (-2, 2) तथा (2,8) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक

प्रश्न 10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं।

हल:
माना A = (3, 0), B = (4, 5), C = (-1, 4) और D = (-2, -1)
समचतुर्भुज ABCD का विकर्ण

प्रश्नावली 7.3

प्रश्न 1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं-
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
हल:
(i) त्रिभुज के शीर्ष (2, 3), (-1, 0) तथा (2, -4) हैं।
यहाँ x₁ = 2, x₂ = -1, x₃ = 2, y₁ = 3, y₂ = 0, y₃ = -4

प्रश्न 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘k’ का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिन्दु संरेखी हों-
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
हल:
(i) माना बिन्दु A = (7, -2); B = (5, 1) तथा C = (3, k)
यहाँ x₁ = 7, x₂ = 5, x₃ = 3, y₁ = -2, y₂ = 1, y₃ = k

परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ∆ABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
4 – k = 0 ⇒ k = 4
अत: k का मान = 4

(ii) माना बिन्दु A = (8, 1), B = (k, -4) तथा C = (2, -5)
यहाँ x₁ = 8, x₂ = k, x₃ = 2, y₁ = 1, y₂ = -4, y₃ = -5

= -3k + 9
परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ∆ABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
-3k + 9 = 0 ⇒ k = 3
अत: k का मान = 3

प्रश्न 3. शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ∆ABC के शीर्ष A = (0, -1), B = (2, 1) और C = (0, 3)
यहाँ x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 0, y₁ = -1, y₂ = 1, y₃ = 3

= 1 वर्ग मात्रक
∴ शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक
पुनः दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4

प्रश्न 4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।
हल: माना चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A = (-4, -2), B = (-3, -5), C = (3, -2) तथा D = (2, 3) हैं।
यहाँ x₁ = -4, x₂ = -3, x₃ = 3, x₄ = 2, y₁ = -2, y₂ = -5, y₃ = -2, y₄ = 3
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 1/2 [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₄ + y₄x₁}]
= 1/2 [{(-4 × -5) + (-3 × -2) + (3 × 3) + (2 × -2)} – {(-2 × -3) + (-5 × 3) + (-2 × 2) + (3 × -4)}]
= 1/2 {20 + 6 + 9 – 4} – {6 – 15 – 4 – 12}]
= 1/2 [(31) – (-25)]
= 1/2 [31 + 25]
= 1/2 [56]
= 28 वर्ग मात्रक
अत: अभीष्ट चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं।
हल: दिए हुए, ∆ABC के शीर्ष A = (4, -6), B = (3, -2) और C = (5, 2)
माना BC का मध्य-बिन्दु D है।

इस प्रकार माध्यिका AD, ∆ABC को दो त्रिभुजों (∆ABD व ∆ACD) में विभाजित करती है।
यहाँ, x₁ = 4, y₁ = -6, x₂ = 3, y₂ = -2, x₃ = 5, y₃ = 2

तब, ∆ACD का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल – ∆ABD का क्षेत्रफल
= (6 – 3) वर्ग मात्रक
= 3 वर्ग मात्रक
अतः स्पष्ट है कि ∆ABC की माध्यिका AD, ∆ABC को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज ABD व त्रिभुज ACD में विभाजित करती है।

प्रश्नावली 7.4

प्रश्न 1. बिन्दुओं A (2, -2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है, उसे ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, बिन्दु A = (2, -2) तथा B = (3, 7)
यहाँ x₁ = 2, y₁ = -2, x₂ = 3, y₂ = 7
माना दिए हुए बिन्दुओं से बना रेखाखण्ड रेखा 2x + y – 4 = 0 को m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता है जबकि प्रतिच्छेद बिन्दु (x, y) है।

बिन्दु (x, 3) रेखा 2x + y – 4 = 0 पर स्थित होगा;
अतः इसके निर्देशांक रेखा 2x + y – 4 = 0 को सन्तुष्ट करेंगे।

अत: अभीष्ट अनुपात = 2 : 9

प्रश्न 2. x और y में एक सम्बन्ध ज्ञात कीजिए यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी है।
हल:
माना बिन्दु A = (x, y), B = (1, 2) तथा C = (7, 0)
यहाँ, x₁ = x, y₁ = y, x₂ = 1, y₂ = 2, x₃ = 7, y₃ = 0

परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ΔABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
x + 3y – 7 = 0
अतः x और में सम्बन्ध : x + 3y – 7 = 0

प्रश्न 3. बिन्दुओं (6, -6), (3, -7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए।
हल: माना A(6, -6), B(3, -7) तथा C(3, 3) बिन्दु एक वृत्त की परिधि पर हैं और वृत्त का केन्द्र O(h, k) है।
तब, OA, OB तथा OC वृत्त की त्रिज्याएँ होंगी।
अतः OA = OB = OC
⇒ OA² = OB² = OC²
OA² = [ केन्द्र O(h, k) और बिन्दु A (6, -6) के बीच की दूरी]²
⇒ OA² = (h – 6)² + (k + 6)²
⇒ OA² = h² – 12h + 36 + k² + 12k + 36
⇒ OA² = h² + k² – 12h + 12k + 72 ……..(1)
OB² = [केन्द्र O (h, k) और बिन्दु B (3, -7) के बीच की दूरी]²
⇒ OB² = (h – 3)² + (k + 7)²
⇒ OB² = h² – 6h + 9 + k² + 14k + 49
⇒ OB² = h² + k² – 6h + 14k + 58 ………(2)
OC² = [केन्द्र O(h, k) और बिन्दु C(3, 3) की दूरी]²
⇒ OC² = (h – 3)² + (k – 3)²
⇒ OC² = h² – 6h + 9 + k² – 6k + 9
⇒ OC² = h² + k² – 6h – 6k + 18 ………(3)
समीकरण (2) में से समीकरण (3) को घटाने पर,
20k + 40 = OB² – OC² = 0
⇒ k = -2
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
-6h – 2k + 14 = OA² – OB² = 0
⇒ 6h + 2k = 14
⇒ 6h + (2 × -2) = 14 (∵ k = -2)
⇒ 6h – 4 = 14
⇒ 6h = 14 + 4 = 18
⇒ h = 3
अत: वृत्त का केन्द्र = (3, -2)

प्रश्न 4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है, वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) व (3, 2) हैं।

= √16
= 4 मात्रक

चित्र से स्पष्ट है कि शेष दोनों बिन्दु विकर्ण BD पर होंगे जो AC पर लम्ब होगा। तब प्रत्येक बिन्दु का भुज +1 होगा। माना कोटि y है।
तब, बिन्दु (1, 2) की बिन्दु (+1, y) से दूरी = 2 मात्रक

⇒ ±(y – 2) = 2
⇒ y – 2 = ±2
⇒ y = ±2 + 2
⇒ y = 0 या 4
अत: वर्ग के शेष दोनों शीर्ष (1, 0) व (1, 4) हैं।

प्रश्न 5. कृष्णानगर के एक सेकेण्डरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए एक आयताकार भूखण्ड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (sapling) को परस्पर 1 मीटर की दूरी पर इस भूखण्ड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखण्ड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखण्ड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।
(i) A को मूलबिन्दु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूलबिन्दु C हो तो ∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?
साथ ही उपर्युक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?

हल: बिन्दुओं P, Q व R से सम्मुख अक्षों पर लम्ब खींचे गए हैं। (चित्र देखिए)

(i) यदि A मूलबिन्दु हो तो
बिन्दु P = (4, 6),Q = (3, 2) तथा R = (6, 5)
यहाँ x₁ = 4, y₁ = 6, x₂ = 3, y₂ = 2, x₃ = 6, y₃ = 5
∆PQR का क्षेत्रफल = 1/2 [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= 1/2 {{4 × 2 + 3 × 5 + 6 × 6} – {6 × 3 + 2 × 6 + 5 × 4}]
= 1/2 [(8 + 15 + 36) – (18 + 12 + 20)]
= 1/2 [59 – 50]
= 1/2 × 9
= 9/2 वर्ग मात्रक

(ii) जब C मूलबिन्दु हो तो
बिन्दु P = (-12, -2), Q = (-13, -6) तथा R = (-10, -3)
यहाँ x₁ = -12, y₁ = -2, x₂ = -13, y₂ = -6, x₃ = -10, y₃ = -3
∆PQR का क्षेत्रफल = 1/2 [{x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁} – {y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁}]
= 1/2 [{(-12 × -6) + (-13 × -3) + (-10 × -2)} – {(-2 × -13) + (-6 × -10) + (-3 × -12)}]
= 1/2 (72 + 39 + 20) – (26 + 60 + 36)]
= 1/2 [(131) – (122)]
= 1/2 × 9
= 9/2 वर्ग मात्रक
अत: दोनों ही स्थितियों में त्रिभुज का क्षेत्रफल समान है।

प्रश्न 6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) और C (7, 2) हैं | भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है की = =  है| त्रिभुज ΔADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना त्रिभुज ΔABC के क्षेत्रफल से कीजिए|

हल: दिया है, ΔABC के शीर्ष A (4, 6), B(1, 5) और C (7, 2) हैं।

प्रश्न 7. मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C (1, 4)एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
[नोट – वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।]
(v) यदि A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) और C(x₃, y₃) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8. बिन्दुओं A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।
हल:
दिए हुए बिन्दु A = (-1, -1), B = (-1, 4), C = (5, 4) और D = (5, -1)

∵ चतुर्भुज PQRS में, PQ = QR = RS = SP और विकर्ण PR ≠ विकर्ण QS
अत: चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।

निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दुओं (2, -2) और (-1, x) के बीच की दूरी 5 है, तो x का एक मान है
(i) -2
(ii) 2
(iii) -1
(iv) 1
हल
(ii) 2

प्रश्न 2.
बिन्दुओं A(-2, 8) और B(-6, -4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है
(i) (-4, -6)
(ii) (2, 6)
(iii) (-4, 2)
(iv) (4, 2)
हल
(iii) (-4, 2)

प्रश्न 3.
बिन्दु A(9, 0), B(9, 6), C(-9, 6) और (-9, 0) निम्नलिखित के शीर्ष हैं
(i) वर्ग
(ii) आयत
(iii) समचतुर्भुज
(iv) समलंब
हल
(ii) आयत

प्रश्न 4.
बिन्दु P(2, 3) की x-अक्ष से दूरी है
(i) 2
(ii) 3
(iii) 1
(iv) 5
हल
(ii) 3

प्रश्न 5.
बिन्दुओं A(0, 6) और B(0, -2) के बीच की दूरी है
(i) 6
(ii) 8
(iii) 4
(iv) 2
हल
(ii) 8

प्रश्न 6.
बिन्दु P(-6, 8) की मूलबिन्दु से दूरी है
(i) 8
(ii) 2√7
(iii) 10
(iv) 6
हल
(iii) 10

प्रश्न 7.
बिन्दुओं (0, 5) और (-5, 0) के बीच की दूरी है
(i) 5
(ii) 5√2
(iii) 2√5
(iv) 10
हल
(ii) 5√2

प्रश्न 8.
AOBC एक आयत है, जिसके तीन शीर्ष A(0, 3), O(0, 0) और B(5, 0) हैं। इसका विकर्ण है
(i) 5
(ii) 3
(iii) √34
(iv) 4
हल
(iii) √34

प्रश्न 9.
शीर्षों (0, 4), (0, 0) और (3, 0) वाले त्रिभुज का परिमाप है
(i) 5
(ii) 12
(iii) 11
(iv) 7 + √5
हल
(ii) 12

प्रश्न 10.
शीर्षों A(3, 0), B(7, 0) और C(8, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है
(i) 14
(ii) 28
(iii) 8
(iv) 6
हल
(iii) 8

प्रश्न 11.
बिन्दु (-4, 0), (4, 0) और (0, 3) निम्नलिखित के शीर्ष हैं
(i) समकोण त्रिभुज
(ii) समद्विबाहु त्रिभुज
(iii) समबाहु त्रिभुज
(iv) विषमबाहु त्रिभुज
हल
(ii) समद्विबाहु त्रिभुज

प्रश्न 12.
बिन्दुओं (7, -6) और (3, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को आन्तरिक रूप से 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करने वाला बिन्दु निम्नलिखित में स्थित होता है
(i) चतुर्थांश I
(ii) चतुर्थांश II
(iii) चतुर्थांश III
(iv) चतुर्थांश IV
हल
(iv) चतुर्थांश IV

प्रश्न 13.
बिन्दुओं A(-2, -5) और B(2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लंब समद्विभाजक पर स्थित एक बिन्दु है
(i) (0, 0)
(ii) (0, 2)
(iii) (2, 0)
(iv) (-2, 0)
हल
(i) (0, 0)

प्रश्न 14.
तीन शीर्षों A(-2, 3), B(6, 7) और C(8, 3) वाले समान्तर चतुर्भुज ABCD का चौथा शीर्ष D है
(i) (0, 1)
(ii) (0, -1)
(iii) (-1, 0)
(iv) (1, 0)
हल
(ii) (0, -1)

प्रश्न 15.
बिन्दुओं A(1, 5) और B(4, 6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का लम्ब समद्विभाजक y-अक्ष को निम्नलिखित बिन्द पर काटता है
(i) (0, 13)
(ii) (0, -13)
(iii) (0, 12)
(iv) (13, 0)
हल
(i) (0, 13)

प्रश्न 16.
एक रेखा y-अक्ष और x-अक्ष को क्रमशः बिन्दुओं P और Q पर प्रतिच्छेद करती है। यदि, (2, -5) रेखाखण्ड PQ का मध्य-बिन्दु है, तो P और Q के निर्देशांक क्रमशः हैं
(i) (0, -5) और (2, 0)
(ii) (0, 10) और (-4, 0)
(iii) (0, 4) और (10, 0)
(iv) (0, -10) और (4, 0)
हल
(iv) (0, -10) और (4, 0)

प्रश्न 17.
शीर्षों (a, b + c), (b, c + a) और (c, a + b) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
(i) (a + b + c)²
(ii) 0
(iii) a + b + c
(iv) abc
हल
(ii) 0

प्रश्न 18.
यदि बिन्दुओं (4, p) और (1, 0) के बीच की दूरी 5 है, तो p का मान है
(i) केवल 4
(ii) ±4
(iii) केवल -4
(iv) 0
हल
(ii) ±4

प्रश्न 19.
यदि बिन्दु A(1, 2), O(0, 0) और C(a, b) संरेख हैं, तो
(i) a = b
(ii) a = 2b
(iii) 2a = b
(iv) a = -b
हल
(iii) 2a = b

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
बिन्दुओं (-3, -4) तथा (-8, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल
बिन्दुओं (-3, -4) तथा (-8, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु

प्रश्न 2.
यदि A(2, 4), B(6, 4), C(3, 7) त्रिभुज के शीर्ष हो, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, ∆ABC के शीर्ष A = (2, 4), B = (6, 4) तथा C = (3, 7)
यहाँ, x₁ = 2, y₁ = 4, x₂ = 6, y₂ = 4, x₃ = 3, y₃ = 7

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
x-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (1, 3) और (-3, 5) से समदूरस्थ है।
हल
माना x-अक्ष पर बिन्दु (h, 0) है।
चूँकि बिन्दु (h, 0) बिन्दुओं (1, 3) और (-3, 5) से समदूरस्थ है।
(h, 0) की बिन्दु (1, 3) से दूरी = (h, 0) से बिन्दु (-3, 5) से दूरी

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
h² + 1 – 2h + 9 = h² + 9 + 6h + 25
⇒ -2h – 6h = 25 – 1
⇒ -8h = 24
⇒ h = −24/8 = -3
अभीष्ट बिन्दु = (-3, 0)

प्रश्न 2.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (1, -2) और (-3, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 में अन्तःविभाजित करता है।
हल
रेखाखण्ड के सिरों के निर्देशांक (1, -2) व (-3, 4)
यहाँ x₁ = 1, y₁ = -2, x₂ = -3, y₂ = 4, m₁ : m₂ = 2 : 3
माना अन्त:विभाजक बिन्दु के निर्देशांक (x, y) हैं।

प्रश्न 3.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (3, 4), (2, -1) और (4, -6) हैं।
हल
त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (3, 4), (2, -1) व (4, -6)
यहाँ x₁ = 3, y₁ = 4, x₂ = 2, y₂ = -1, x₃ = 4, y₃ = -6
उक्त शीर्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 1/2 [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= 1/2 [3{-1 – (-6)} + 2(-6 – 4) + 4{4 – (-1)}]
= 1/2 [3{-1 + 6 } + 2 × (-10) + 4{4 + 1}]
= 1/2 [3 × {5} + 2 × (-10) + 4 × {5}]
= 1/2 [15 – 20 + 20]
= 1/2 [5]
= 15/2
= 7.5 वर्ग मात्रक
अतः दिए गए शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = 7.5 वर्ग मात्रक

प्रश्न 4.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(6, 4) और B(1, -7) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष से अन्तः विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल
माना बिन्दुओं A(6, 4) और B (1, -7) को मिलाने वाला रेखाखण्ड X-अक्ष से बिन्दु (h, 0) पर m₁ : m₂ के अनुपात में अन्तः विभाजित होता है।
यहाँ x₁ = 6, y₁ = 4, x₂ = 1, y₂ = -7

प्रश्न 5.
यदि बिन्दु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और (P, 3) एक समान्तर चतुर्भुज के क्रमश: शीर्ष हों तो P का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिए हुए बिन्दु A = (6, 1), B = (8, 2), C = (9, 4) और D = (P, 3)
उक्त बिन्दुओं को क्रमशः मिलाने पर यदि एक समान्तर चतुर्भुज ABCD बनता है तो AC और BD उस समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण होंगे।
किसी समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
AC का समद्विभाजक BD होगा और BD का समद्विभाजक AC होगा, अर्थात् AC का मध्य-बिन्दु वही होगा जो BD का मध्य-बिन्दु है।

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु (4, 3) एवं (5, 7) के बीच की दूरी √17 इकाई हो तो y का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, बिन्दु (4, 3) एवं (5, 5) के बीच की दूरी = √17

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(1)² + (y – 3)² = 17
⇒ (y – 3)² = 17 – 1 = 16
⇒ y – 3 = ±4
⇒ y – 3 = 4
⇒ y = 7
तथा y – 3 = -4
⇒ y = -4 + 3 = -1
∴ y = 7, -1

प्रश्न 7.
P के किस मान के लिए बिन्दु (2, 1), (P, 1) तथा (2P + 1, 2) संरेख होंगे?
हल
माना A = (2, 1), B = (P, 1), C = (2P + 1, 2)
बिन्दुओं A, B,C से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)]
यहाँ, x₁ = 2, y₁ = 1, x₂ = P, y₂ = 1, x₃ = 2P + 1, y₃ = 2
क्षेत्रफल = 1/2 [2 × 1 + P × 2 + (2P + 1) × 1 – 1 × P + 1 × (2P + 1) + 2 × 2]
= 1/2 [2 + 2P + 2P + 1 – P – 2P – 1 – 4]
= 1/2 [4P – 3P + 3 – 1 – 4]
= 1/2 [P – 2]
∵ बिन्दु संरेख हैं
∴ क्षेत्रफल = 0
1/2 (P – 2) = 0
या P – 2 = 2 × 0 = 0
या P = 2

प्रश्न 8.
यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) तथा (7, 0) संरेखी हैं तो सिद्ध कीजिए x + 3y = 7.
हल
दिए गए बिन्दु (x, y), (1, 2), (7, 0)
यहाँ x₁ = x, x₂ = 1, x₃ = 7, y₁ = y, y₂ = 2, y₃ = 0
अत: इन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
∆ = 1/2 [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)]
= 1/2 [(x × 2 + 1 × 0 + 7 × y) – (y × 1 + 2 × 7 + 0 × x)]
= 1/2 [(2x + 7y) – (y + 14)]
= 1/2 [2x + 7y – y – 14]
= x + 3y – 7
यदि उक्त बिन्दु संरेखी हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ = 0
x + 3y – 7 = 0
⇒ x + 3y = 7

प्रश्न 9.
बिन्दुओं P(2, 3), Q(4, 0) और R (6, -3) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। शून्य वर्ग मात्रक क्षेत्रफल वाले त्रिभुज का क्या आशय है?
हल
त्रिभुज के शीर्ष : P = (2, 3), Q = (4, 0) और R = (6, -3)
यहाँ x₁ = 2, x₂ = 4, x₃ = 6, y₁ = 3, y₂ = 0, y₃ = -3
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)]
= 1/2 [(2 × 0 + 4 × (-3) + 6 × (3)) – (3 × 4 + 0 × 6 + (-3) × 2)]
= 1/2 [(0 – 12 + 18) – (12 + 0 – 6)]
= 1/2 [6 – 6]
= 0
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य वर्ग मात्रक है। इसका आशय है कि तीनों बिन्दु संरेख हैं।

प्रश्न 10.
बिन्दुओं P(-1.5, 3),Q(6, -2) और R(-3, 4) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। उत्तर की विवेचना भी कीजिए।
हल
त्रिभुज के शीर्ष हैं :
P(-1.5, 3), Q(6, -2) और R(-3, 4)
यहाँ x₁ = -1.5, x₂ = 6, x₃ = -3, y₁ = 3, y₂ = -2, y₃ = 4
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)]
= 1/2 [{(-1.5) × (-2) + 6 × 4 + (-3) × 3} – {3 × 6 + (-2) × (-3) + 4 × (-1.5)}]
= 1/2 [(3 + 24 – 9) – (18 + 6 – 6)]
= 1/2 (18 – 18)
= 0
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य वर्ग मात्रक है। इसका आशय है कि तीनों बिन्दु संरेख हैं।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दिखाइए कि बिन्दु (12, 8), (-2, 6) और (6, 0) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल
दिए गए बिन्दु (12, 8), (-2, 6) और (6, 0)
माना A = (12, 8), B = (-2, 6) और C = (6, 0)
यहाँ x₁ = 12, y₁ = 8, x₂ = -2, y₂ = 6, x₃ = 6, y₃ = 0

स्पष्ट है कि भुजा AB सबसे बड़ी भुजा है।
तब, AB = √200 और BC = √100 व CA = √100
⇒ AB² = 200 और BC² = 100 व CA² = 100
⇒ AB² = BC² + CA²
∴ A, B, C एक ऐसे समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसमें कर्ण AB तथा ∠C समकोण है।

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (-6, 10) और (3, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-4, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।
हल
माना बिन्दुओं (-6, 10) और (3, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-4, 6) m₁ : m₂ में विभाजित करता है, तब

दोनों ही निर्देशाक्षों से, m₁ : m₂ = 2 : 7
अतः अभीष्ट अनुपात = 2 : 7

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि बिन्दु (3, 2), (-2, -3) और (2, 3) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।
हल
दिए गए बिन्दु (3, 2), (-2, -3) और (2, 3) हैं।
माना A = (3, 2), B = (-2, -3) और C = (2, 3)
यहाँ x₁ = 3, y₁ = 2, x₂ = -2, y₂ = -3, x₃ = 2, y₃ = 3

स्पष्ट है कि भुजा BC सबसे बड़ी भुजा है।
तब, BC = √52 और AB = √50 व CA = √2
⇒ BC² = 52 और AB² = 50 व CA² = 2
⇒ BC² = AB² + CA²
A, B, C एक ऐसे समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसमें कर्ण BC तथा CA समकोण है।

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