bihar board class 10th maths | Polynomials

bihar Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials

प्रश्नावली 2.1

प्रश्न. 1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |

हलः
(i) दिया गया ग्राफ -अक्ष के समान्तर है।
यह x-अक्ष को किसी भी बिन्दु पर प्रतिच्छेद नहीं करता है।
शून्यकों की संख्या = 0
(ii) दिया गया p(x) का ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या =1
(iii) p(x) का ग्राफ x-अक्ष को तीन बिन्दुओं पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या = 3
(iv) p(x) का ग्राफ x-अक्ष को दो बिन्दुओं पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या = 2
(v) p(x) का ग्राफ x-अक्ष को चार बिन्दुओं पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या = 4
(vi) p(x) का ग्राफ x-अक्ष को तीन बिन्दुओं पर काटता है।
p(x) के शून्यांकों की संख्या = 3

प्रश्न 1. निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए-
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
हल:
(i) दिया गया बहुपद = x² – 2x – 8
= x² – (4 – 2)x – 8
= x² – 4x + 2x – 8
= (x² – 4x) + (2x – 8)
= x(x – 4) + 2 (x – 4)
= (x – 4) (x + 2)
x² – 2x – 8 = (x – 4) (x + 2)
जब बहुपद x² – 2x – 8 = 0 हो तो (x – 4) (x + 2) भी शून्य होगा जिसका अर्थ है कि या तो x – 4 = 0 या फिर x + 2 = 0
यदि हो x – 4 = 0 हो तो x = 4 और यदि x + 2 = 0 हो तो x = -2
अत: बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक = 4 व -2
बहुपद x² – 2x – 8 की तुलना बहुपद ax² + bx + c से करने पर,
a = 1, b = -2 तथा c = -8
तब, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों में सम्बन्ध

और जो शून्यक हमने ज्ञात किए थे उनका योगफल भी 2 तथा गुणनफल (-8) है।
अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

(ii) दिया गया बहुपद = 4s² – 4s + 1
= (2s)² – 2(2s) . 1 + (1)² [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
= (2s – 1)²
4s² – 4s + 1 = (2s – 1)²
जब बहुपद 4s² – 4s + 1 = 0 हो तो (2s – 1)² भी शून्य होगा जिसका अर्थ है कि
(2s – 1)² = 0
⇒ (2s – 1) = 0
⇒ 2s = 1

(iii) दिया गया बहुपद = 6x² – 3 – 7x
= 6x² – 7x – 3
= 6x² – (9 – 2)x – 3
= 6x² – 9x + 2x – 3
= (6x² – 9x) + (2x – 3)
= 3x(2x – 3) + 1(2x – 3)
= (2x – 3) (3x + 1)
बहुपद 6x² – 3 – 7x = (2x – 3) (3x + 1)
जब बहुपद 6x² – 3 – 7x = 0 हो तो (2x – 3) (3x + 1) भी शून्य होगा जिसका अर्थ है कि या तो 2x – 3 = 0 या फिर 3x + 1 = 0

अब, बहुपद 6x² – 3 – 7x की तुलना मानक द्विघात बहुपद ax² + bx + c से करने पर,
a = 6, b = -7 तथा c = -3
तब, बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में सम्बन्ध

अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

(iv) दिया गया बहुपद = 4u² + 8u = 4u(u + 2)
यदि उक्त बहुपद 4u² + 8u = 0 हो तो 4u(u + 2) = 0 जिसका अर्थ है कि
4u = 0 ⇒ u = 0 या फिर u + 2 = 0 ⇒ u = -2
अत: बहुपद 4u² + 8u के शून्यक = 0 व -2
अब, बहुपद 4u² + 8u की तुलना बहुपद au² + bu + c से करने पर,
a = 4, b = 8 तथा c = 0
तब, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों में सम्बन्ध

और हमने जो शून्यक ज्ञात किए हैं, उनका योगफल (-2 + 0) = -2 तथा गुणनफल {(-2) × 0} = 0 है
अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

(v) दिया गया बहुपद = t² – 15
जब बहुपद t² – 15 = 0 हो तो t² = 15 या t = ±√15
अत: बहुपद t² – 15 के शून्यक = +√15 व -√15
यहाँ शून्यकों का योगफल (+√15 – √15) = 0 तथा गुणनफल {√15 × (-√15)} = -15 है।
दिए गए बहुपद t² – 15 = 0 की तुलना मानक द्विघात बहुपद at² + bt + c से करने पर,
a = 1, b = 0 तथा c = -15
तब, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के मध्य सम्बन्ध

जो कि उपर्युक्त फलन से मेल खाता है।
अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के मध्य उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

(vi) दिया गया बहुपद = 3x² – x – 4
= 3x² – (4 – 3)x – 4
= 3x² – 4x + 3x – 4
= (3x² – 4x) + (2x – 4)
= x(3x – 4) + 1(3x – 4)
= (3x – 4) (x + 1)
= (3x – 4) (x + 1)
जब बहुपद 3x² – x – 4 = 0 हो तो (3x – 4) (x + 1) = 0
जिसका अर्थ है कि या तो 3x – 4 = 0 या फिर x + 1 = 0 है।

अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न. 2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं :
(i) , -1

(ii) √2, 
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) , 
(vi) 4, 1
हल:
(i) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ

(ii) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β तथा गुणनफल = αβ
दिया गया है कि बहुपद के शून्यकों का योगफल √2 तथा गुणनफल  है।
α + β = √2 तथा αβ =
तब, द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β) + αβ
= x² – √2x +
= (3x² – 3√2x + 1)
= k(3x² – 3√2x + 1)
अत: अभीष्ट बहुपद k(3x² – 3√2x + 1) है, जहाँ k = एक वास्तविक संख्या है।

(iv) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल 1 तथा गुणनफल 1 है।
तब, α + β = 1 तथा αβ = 1
द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β)x + αβ
= x² – (1) . x + 1
= x² – x + 1
अतः अभीष्ट बहुपद = x² – x + 1

(v) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α व β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल − तथा गुणनफल  है।

(जहाँ k एक वास्तविक संख्या है)
अत: अभीष्ट बहुपद = 4x² + x + 1 अथवा k(4x² + x + 1) जहाँ k =  एक वास्तविक संख्या है।

(vi) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α व β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = (α + β) तथा गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल 4 तथा गुणनफल 1 है।
α + β = 4 तथा αβ = 1
द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β)x + αβ
= x² – 4x + 1
अत: अभीष्ट बहुपद = x² – 4x + 1

प्रश्नावली 2.3

प्रश्न 4. यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और -2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
हल:
बहुपद x³ – 3x² + x + 2 = p(x), भाजक = g(x)
भागफल q(x) = (x – 2) तथा शेषफल r(x) = -2x + 4
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,

प्रश्नावली 2.4

प्रश्न 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी
सत्यापित कीजिए-

(ii) दिया है, त्रिघात बहुपद p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2 ……..(1)
दी गई संख्याएँ : 2, 1, 1
समीकरण (1) में x = 2 रखने पर,
तब, p(2) = (2)³ – 4(2)² + 5(2) – 2
= 8 – 4 × 4 + 10 – 2
= 8 – 16 + 10 – 2
= 0
2, बहुपद p (x) का एक शून्यक है।
पुनः समीकरण (1) में x = 1 रखने पर,
p(1) = (1)³ – 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2
= 0
1, बहुपद p(x) का एक शून्यक है।
तब, स्पष्ट है कि 2, 1, 1 बहुपद = x³ – 4x² + 5x – 2 के शून्यक हैं।
इन शून्यकों का योगफल = 2 + 1 + 1 = 4 तथा गुणनफल 2 × 1 × 1 = 2
दो-दो करके गुणनफलों का योगफल = (2 × 1) + (1 × 1) + (1 × 2) = 5
अब, बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 के पदों के गुणांक a = 1, b = -4, c = 5 तथा d = -2
यदि शून्यक α, β व γ हों तो

शून्यकों 2, 1, 1 से प्राप्त योगफल व गुणनफल भी यही हैं।
अत: बहुपद के शून्यकों का उनके गुणांकों से उक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योगफल तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।
हल:
माना बहुपद के शून्यक α, β व γ हैं।
तब, प्रश्नानुसार शून्यकों का योगफल (α + β + γ) = 2
दो शून्यकों को एक साथ लेकर उसके गुणनफलों का योगफल (αβ + βγ + γα) = -7
शून्यकों का गुणनफल (αβγ) = -14
यदि शून्यक α, β व γ हों तो त्रिघात बहुपद
= x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ
= x³ – 2x² + (-7)x – (-14)
= x³ – 2x² – 7x + 14
अत: अभीष्ट बहुपद = x³ – 2x² – 7x + 14

प्रश्न 3. यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया बहुपद = x³ – 3x² + x + 1 की बहुपद Ax³ + Bx² + Cx + D से तुलना करने पर,
A = 1, B = -3, C = 1 तथा D = 1

तब, शून्यकों का योगफल = 3
परन्तु शून्यक a – b, a तथा a + b हैं;
अत: a – b + a + a + b = 3
⇒ 3a = 3
⇒ a = 1

परन्तु शून्यकों का गुणनफल (a – b) a (a + b) = a(a² – b²)
a(a² – b²) = -1
a = 1 रखने पर,
1(1 – b²) = -1
⇒ 1 – b² = -1
⇒ b² = 2
⇒ b = ±√2
a = 1 और b = ±√2

प्रश्न 4. यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि बहुपद 4 घात का है; अत: इसमें अधिकतम चार शून्यक सम्भव हैं जिनमें दो शून्यक 2 + √3 व 2 – √3 ज्ञात हैं।
माना शेष दो शून्यक α व β हैं।
तब, (x – α) (x – β) (x – 2 – √3) (x – 2 + √3) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x – α) (x – β) [(x – 2)² – (√3)²] = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x – α) (x – β) (x² – 4x + 4 – 3) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x – α) (x – β) (x² – 4x + 1) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35

(x – α) (x – β)
= x² – 2x – 35
= x² – (7 – 5)x – 35
= x² – 7x + 5x – 35
= x(x – 7) + 5(x – 7)
= (x – 7) (x + 5)
⇒ (x – α) (x – β) = (x – 7) (x + 5)
α = 7 तथा β = -5
अतः दिए गए बहुपद के दो अन्य शून्यक 7, -5 हैं।

प्रश्न 5. यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल:
माना भाज्य बहुपद p(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
भाजक बहुपद g(x) = x² – 2x + k तथा शेषफल r(x) = x + a है।
पुनः माना भागफल बहुपद q(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,
g (x) . q (x) + r(x) = p (x)
⇒ (x² – 2x + k) + (x + a) q (x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
⇒ (x² – 2x + k) q(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 – x – a
⇒ (x² – 2x + k) q(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 26x + (10 – a)

भाज्य बहुपद 4 घात का है और भाजक बहुपद दो घात का है; तब q(x) भी 4 – 2 = 2 घात का बहुपद होगा जिसका स्वरूप Ax² + Bx + C के रूप का होगा।

(2k – 10)x + (10 – a – 8k + k²) = 0 होना चाहिए।
परन्तु (2k – 10)x + (10 – a – 8k + k²) शून्य घात का है।
2k – 10 = 0 क्योकि x ≠ 0
तब, k = 5
(2k – 10)x + (10 – a – 8k + k²) = 0 में k = 5 रखने पर,
⇒ (2 × 5 – 10) x + [10 – a – 8 × 5 + (5)²] = 0
⇒ 0+ [10 – a – 40 + 25] = 0
⇒ -a – 5 = 0
⇒ -a = 5
⇒ a = -5
अत: a = -5 तथा k = 5

बहुपद Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि द्विघात बहुपद x² + (a + 1)x + b के शून्यक 2 और -3 हैं, तो
(i) a = -7, b = -1
(ii) a = 5, b = -1
(iii) a = 2, b = -6
(iv) a = 0, b = -6
हल
(iv) a = 0, b = -6

प्रश्न 2.
शून्यक -2 और 5 वाले बहुपदों की संख्या है
(i) 1
(ii) 2
(iii) 3
(iv) 3 से अधिक
हल
(iv) 3 से अधिक

प्रश्न 3.
यदि त्रिघात बहुपद x³ + ax² + bx + c का एक शून्यक -1 है, तो अन्य दोनों शून्यकों का गुणनफल है
(i) b – a + 1
(ii) b – a – 1
(iii) a – b + 1
(iv) a – b – 1
हल
(i) b – a + 1

प्रश्न 4.
द्विघात बहुपद x² + 99x + 127 के शून्यक हैं
(i) दोनों धनात्मक
(ii) दोनों ऋणात्मक
(iii) एक धनात्मक और एक ऋणात्मक
(iv) दोनों बराबर
हल
(ii) दोनों ऋणात्मक

प्रश्न 5.
द्विघात बहपद x² + kx + k, k ≠ 0 के शून्यक
(i) दोनों धनात्मक नहीं हो सकते
(ii) दोनों ऋणात्मक नहीं हो सकते
(iii) सदैव असमान होते हैं
(iv) सदैव बराबर होते हैं
हल
(i) दोनों धनात्मक नहीं हो सकते

प्रश्न 6.
यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c, c ≠ 0 के शून्यक बराबर हैं, तो
(i) c और a विपरीत चिह्नों के हैं
(ii) c और b विपरीत चिह्नों के हैं
(iii) c और a एक ही चिह्न के हैं
(iv) c और b एक ही चिह्न के हैं
हल
(iii) c और a एक ही चिह्न के हैं

प्रश्न 7.
यदि x² + ax + b के रूप के एक द्विघात बहुपद का एक शून्यक दूसरे शून्यक का ऋणात्मक हो, तो
(i) इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद ऋणात्मक होता है।
(ii) इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद धनात्मक होता है।
(iii) इसका रैखिक पद हो सकता है, परन्तु अचर पद ऋणात्मक होता है
(iv) इसका रैखिक पद हो सकता है, परन्तु अचर पद धनात्मक होता है
हल
(i) इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद ऋणात्मक होता है।

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि बहुपद के साथ दी गई संख्या उसकी शून्यक है अथवा नहीं?
x² – 2√3x – 9, x = 3√3, x = -√3
हल
दिया गया बहुपद
= x² – 2√3x – 9
= x² – (3√3 – √3)x – 9
= x² – 3√3x + √3x – (3√3 × √3)
= x(x – 3√3) + √3(x – 3√3)
= (x – 3√3) (x + √3)
उक्त बहुपद शून्य तब होगा जब x – 3√3 = 0 अर्थात् x = 3√3 हो
या फिर उक्त बहुपद शून्य तब होगा जब x + √3 = 0 हो अर्थात् x = -√3 हो।
अत: संख्याएँ x = 3√3 व x = -√3 दिए बहुपद x² – 2√3x – 9 की शून्यक हैं।

प्रश्न 2.
बहुपद x³ + 2x² – x – 2 का एक शून्यक (-2) है तो सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x³ + 2x² – x – 2 का एक शून्यक (-2) है
(x + 2) बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
x³ + 2x² – x – 2 = x²(x + 2) – 1(x + 2)
= (x + 2)(x² – 1)
= (x + 2)(x + 1) (x – 1)
बहुपद x³ + 2x² – x – 2 के शून्य होने के लिए
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 0
अत: बहुपद x³ + 2x² – x – 2 के शून्यक = -2, -1 व 1 हैं।

प्रश्न 3.
बहुपद x² – 9 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x² – 9 के गुणनखण्ड करने पर,
x² – 9 = (x)² – (3)² = (x + 3) (x – 3)
x² – 9 के शून्य होने के लिए।
x + 3 = 0 ⇒ x = -3
तथा x – 3 = 0 ⇒ x = 3
अत: x² – 9 के शून्यक = -3 व 3

प्रश्न 4.
चित्र में, बहुपद y = f(x) का आलेख दिया गया है। इसके शून्यकों की संख्या बताइए।

हल
बहुपद y = f(x) का आलेख X-अक्ष को 3 बिन्दुओं पर काटता है। अत: शून्यकों की संख्या 3 है।

प्रश्न 5.
यदि बहुपद ax² – 6x – 6 के शून्यकों का गुणनफल 6 हो तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया बहुपद = ax² – 6x – 6
तथा शून्यकों का गुणनफल = 6

प्रश्न 6.
बहुपद x³ – 3x² + 5x – 3 को x – 1 से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x³ – 3x² + 5x – 3 = p(x), भाजक = x – 1 = g(x)
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
अब, बहुपद को भाजक से भाग देने पर,

अत: भागफल q(x) = x² – 2x + 3 तथा शेषफल r(x) = शून्य।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योगफल तथा गुणनफल क्रमशः संख्याएँ -1, 1 हैं।
हल
माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β
तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ
प्रश्नानुसार, शून्यकों का योगफल (α + β) = -1
शून्यकों का गुणनफल (αβ) = +1
द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β) x + αβ
= x² – (-1) . x + (+1)
= x² + x + 1
अतः अभीष्ट बहुपद = x² + x + 1

प्रश्न 2.
द्विघात बहुपद 2x² – 50 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद 2x² – 50 के गुणनखण्ड करने पर,
2x² – 50 = 2(x² – 25)
= 2[(x)² – (5)²]
= 2(x + 5) (x – 5)
2x² – 50 के शून्य होने के लिए
x + 5 = 0 ⇒ x = -5
तथा x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अत: 2x² – 50 के शून्यक -5 व 5 हैं।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए यदि इसके दो शून्यक √2 और -√2 ज्ञात हैं।
हल
बहुपद 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 के दो शून्यक √2 व -√2 हैं और माना दो अन्य शून्यक α व β हैं।
(x – α) (x – β) (x – √2) (x – (-√2)) = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2
(x – α) (x – β) (x – √2) (x + √2) = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2
(x – α) (x – β) (x² – 2) = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2

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