Bihar Board 12th Maths Important Questions Long Answer Type Part 4 in Hindi

Bihar Board 12th Maths Important Questions Long Answer Type Part 4 in Hindi

BSEB 12th Maths Important Questions Long Answer Type Part 4 in Hindi

Application of Intregral:

प्रश्न 1.
प्रथम चरण में वृत्त x² + y² = 3², रेखा y = x बा :-अक्ष से घिरे भाय क्षे० ज्ञात करें।
उत्तर:
दिये गये समी०
y = x ……………… (i)
और x² + y² = 3²………………………. (ii)
समी० (i) और (ii) से, वृत्त एवं रेखा का कटान बिन्दु B (4,4) विन्दु B से BM⊥x.
अक्ष पर डाला।
∴ सम्पूर्ण क्षेत्रफल = क्षेत्र OBMO का क्षे० + क्षेत्र BMAB का क्षेत्रफल
अब क्षेत्र OBMO का क्षेत्रफल ∫₀⁴ ydx =∫₀⁴ xdx ……………..(iii)

पुनः क्षेत्र BMAB का क्षेत्रफल

= 8π – (8 + 4π)
= 4π – 8
समी० (i) और (iv) जोड़ने पर,
कुल क्षे० = 8 + 4π – 8 = 4π

प्रश्न 2.

प्रश्न 3.
समाकलन के प्रयोग से त्रिभुज ABC का क्षे० ज्ञात करें जिसके शीर्ष क्रमशः A (1,0), B(2,2) तथा C(3, 1) है।
उत्तर:
माना कि ΔABC की शीर्ष A(1,0), B(2,2),C(3, 1) है।
ΔABC का क्षेत्रफल
= ΔABD का क्षे० + समलम्ब चतुर्भुज BDEC का क्षे० – ΔAEC का क्षे०
अब दिये गये AB, BC और CA का समी० क्रमशः
y = 2(x – 1), y = 4 – x,

प्रश्न 4.
परवलय y² = 4ax एवं नाभिलंब से घिरे भाग का क्षे० ज्ञात करें।
उत्तर:
दिये गये परवलय के समी० y² = 4ax
शीर्ष = (0,0)
नाभिलंब LSL’ का समीकरण x=a
∴ क्षेत्र OLL’O का अभिष्ट क्षे० = 2 (क्षेत्र OLSO का क्षे०)

प्रश्न 5.
यदि किसी वक्र का समी० y = a sin (x +b) हो जहाँ a,b constant है तो सका अवकल समी० ज्ञात करें।
उत्तर:
दिया हुआ है,
y = a sin (x + b) ……………(i)

प्रश्न 6.

प्रश्न 7.

प्रश्न 8.
एक बैंक में मूलधन एक सतत दर 5% प्रतिवर्ष की दर से बढ़ रहा है तो कितने वर्षों में 1000 रु० अपने आप का दुगुना हो जायेगा।
उत्तर:
माना कि किसी समय t पर मूलधन p है, तो

p= 1000 . जब t = 0
Pऔर t का मान समी० (3) पर रखने पर
हम पाते हैं c = 1000
∴ समीकरण (iii) से पाते हैं
p = 1000^t/20
माना कि t समय में मूलधन दुगुना हो जाता है
2000 = 100^t/20
t = 20log_e²

प्रश्न 9.

प्रश्न 10.

f(x, y) समघातीय अवकल समी० है।
y = vx रखने पर
समी० (i) को अवकलित करने पर,

प्रश्न 11.

प्रश्न 12
अवकल समी० (x +2y²)dy = ydx का general soln. ज्ञात करें।.
उत्तर:
दिया गया समी० (x+2y²) dy = ydx

प्रश्न 13.
अवकल समी० (tan^-1y – x) dy = (1 + y²) dx को हल करें।
उत्तर:
दिये गये अवकल समी०

= te^t – ∫ 1. e^t dt
= te^t – e¹
= e^t (t – 1)
I = e^tan-1y (tan^-1 y – 1)
समी० (ii) से
x.etan^-1y = e^tan-1y (tan^-1y – 1) + c
या, x= (tan^-1y – 1) + c.e ^tan-1y
जो कि अभीष्ट General soln. है।

प्रश्न 14.
वृत्त x² + y² = a² का क्षे० ज्ञात करें।
उत्तर:
पूर्ण वृत्त का क्षेत्र –
4 . (area of region AOBA

अवकल समीकरण

प्रश्न 1.
हल करें : x cos (y/x) (ydx + xdy) = y sin(y/x) (xdy – ydx).
उत्तर:
माना कि y = vx ⇒ dy = vdx + xdv. अतः दत्त समीकरण से,
xcos v(vxdx + vxdx + x² dv) = vxsin (vxdx + x²dv – vxdx)
cosv(2vxdx + x² dv) = vsin v x x² dv
xcos v(2vdx+xdv) = x² vsin v dv
2vdx + xdv = vx tan v dv.
2dx/x+dv/v = tan v dv.
Integrate करने पर,
2logx + logy = log sec v + logk
vx² cosv = k ⇒ xy cos(y/x) = k

प्रश्न 2.
हल करें : (1 + y²)dx = (tan^-1y – x).dy
उत्तर:

प्रश्न 3.

प्रश्न 4.

प्रश्न 5.
हल करें:

प्रश्न 6.

प्रश्न 7.

प्रश्न 8.
हल करें :
xdy + ydx = xe^xdx
उत्तर:
दिया गया समीकरण
xdy + y dx = xe^x dx

प्रश्न 9.
हल करें :

प्रश्न 10.
मान निकालें ∫ sec³ x dx
उत्तर:
I = [sec³ x dx = sec² x.sec xdx
I = sec x∫ sec² x dx – ∫ [d/dx (sec x) ∫sec² xdx]dx
= sec x tanx – ∫ secx . tan x tan x dx
= sec x tan x – ∫ secx(sec² x – 1)dx
= secx tan x – ∫ sec³ xdx + ∫ secxdx
= sec x tan x – I + log(secx + tanx) +k
2I = sec x . tan x + log (secx + tan x) +k
I = 1/2 secx tan x + 1/2 log(secx + tanx) + c

प्रश्न 11.